Question

6．已知函數(shù)f（x）=sin（2ωx+φ）-1$（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最小正周期為$\frac{π}{2}$，圖象過點(diǎn)$（0，-\frac{1}{2}）$．
（1）求ω、φ的值和f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)F（x）=g（x）+k在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上有且只有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數(shù)的周期性求得ω，根據(jù)f（x）的圖象過點(diǎn)$（0，-\frac{1}{2}）$，求得φ的值，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域．結(jié)合函數(shù)g（x）的圖象和直線y=-k有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（2ωx+φ）-1$（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最小正周期為$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，
∵f（x）的圖象過點(diǎn)$（0，-\frac{1}{2}）$，∴sinφ-1=-$\frac{1}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）-1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位，可得y=sin（4x-$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）=sin（4x-$\frac{π}{3}$）的圖象；
再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1 的圖象．
在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
故g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的值域?yàn)閇-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，0]，
若函數(shù)F（x）=g（x）+k在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上有且只有兩個(gè)不同零點(diǎn)，
由題意可得，函數(shù)g（x）的圖象和直線y=-k有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，并根據(jù)sin（$\frac{π}{3}$）-1=sin$\frac{2π}{3}$-1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1≤k＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，屬于中檔題．