Question

11．已知函數f（x）=|x-2|+|2x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若關于x的方程$\frac{1}{f（x）-4}$=a的解集為空集，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論求得原不等式解集．
（Ⅱ）由分段函數f（x）的解析式可得f（x）的單調性，由此求得函數f（x）的值域，求出$\frac{1}{f（x）-4}$的取值范圍．再根據關于x的方程$\frac{1}{f（x）-4}$=a的解集為空集，求得實數a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）解不等式|x-2|+|2x+1|＞5，
x≥2時，x-2+2x+1＞5，解得：x＞2；
-$\frac{1}{2}$＜x＜2時，2-x+2x+1＞5，無解，
x≤-$\frac{1}{2}$時，2-x-2x-1＞5，解得：x＜-$\frac{4}{3}$，
故不等式的解集是（-∞，-$\frac{4}{3}$）∪（2，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=|x-2|+|2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1，x≥2}\\{x+3，-\frac{1}{2}＜x＜2}\\{-3x+1，x≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故f（x）的最小值是$\frac{5}{2}$，所以函數f（x）的值域為[$\frac{5}{2}$，+∞），
從而f（x）-4的取值范圍是[-$\frac{3}{2}$，+∞），
進而$\frac{1}{f（x）-4}$的取值范圍是（-∞，-$\frac{2}{3}$]∪（0，+∞）．
根據已知關于x的方程$\frac{1}{f（x）-4}$=a的解集為空集，所以實數a的取值范圍是（-$\frac{2}{3}$，0]．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數，絕對值不等式的解法，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．