Question

15．已知函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x）=cosx-5，且f（0）=0，如果f（1-ax）+f（1-ax²）＜0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-8，0]．

Answer 1

分析 由題意函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=cosx-5＜0恒成立，故函數(shù)是減函數(shù)，再由函數(shù)是奇函數(shù)將不等式f（1-ax）+f（1-ax²）＜0轉(zhuǎn)化為f（1-ax）＜f（ax²-1），由單調(diào)性及定義轉(zhuǎn)化為不等式，再分類討論即可求出a的取值范圍

解答 解：∵-1≤cosx≤1，
∴f'（x）=cosx-5＜0，
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，
∵f′（x）=cosx-5為偶函數(shù)及f（0）=0可得f（x）為奇函數(shù)
由f（1-ax）+f（1-ax²）＜0可得，f（1-ax）＜-f（1-ax²）=f（ax²-1）
即1-ax＞ax²-1
∴a（x²+x）＜2，
當x＜-1或x＞0時，x²+x＞0，則a＜$\frac{2}{{x}^{2}+x}$=$\frac{2}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$
∵$\frac{2}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$＞0，
∴a≤0，
當-1＜x＜0時，x²+x＜0，則a＞$\frac{2}{{x}^{2}+x}$=$\frac{2}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$
當x=-$\frac{1}{2}$時，（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$有最小值，則$\frac{2}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$有最大值-8，
∴a＞-8，
當x²+x=0時，恒成立，
綜上所述a的取值范圍為（-8，0]，
故答案為（-8，0]．

點評 本題主要結(jié)合導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的簡單性質(zhì)考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性質(zhì)進行解不等式，解題中要注意對所求問題的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．