Question

15．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx-φ），$（ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}）$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（{\frac{π}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，且相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及其在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，若$f（{\frac{A}{2}}）+cosA=\frac{1}{2}$，求∠A的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{2}$，可得周期，從而求出ω，圖象過(guò)點(diǎn)$（{\frac{π}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，帶入求出φ，即可求函數(shù)f（x）的解析式及其在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)$f（{\frac{A}{2}}）+cosA=\frac{1}{2}$，利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得∠A的大�。�

解答 解：（Ⅰ）由相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{2}$，可得其周期為$T=\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2．
則f（x）=sin（2x-φ）
∵圖象過(guò)點(diǎn)$（{\frac{π}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，且$ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}$，坐標(biāo)帶入：
得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2×$\frac{π}{4}$-φ），即cosφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴φ=$\frac{π}{6}$
那么：函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
由$2kπ-\frac{π}{2}＜2x-\frac{π}{6}＜2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．
可得：$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$
∴x在[0，π]上增區(qū)間為$（{0，\frac{π}{3}}）$和$（{\frac{5π}{6}，π}）$．
（Ⅱ）由$f（{\frac{A}{2}}）+cosA=\frac{1}{2}$，可得$sin（{A-\frac{π}{6}}）+cosA=\frac{1}{2}$，
則$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA=\frac{1}{2}$，
得$sin（{A+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$
由于0＜A＜π，
則$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
那么：$A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$
∴$A=\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，確定函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．