Question

18．為了解心肺疾病是否與年齡相關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了40名市民，得到數(shù)據(jù)如下表：

	患心肺疾病	不患心肺疾病	合計
大于40歲	16
小于等于40歲		12
合計			40

已知在全部的40人中隨機(jī)抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率為$\frac{2}{5}$．
（1）請將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；據(jù)此數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為患心肺疾病與年齡有關(guān)？
（2）（2）已知大于40歲患心肺疾病市民中，經(jīng)檢查其中有4名重癥患者，專家建議重癥患者住院治療，現(xiàn)從這16名患者中選出兩名，記需住院治療的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望
下面的臨界值表供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算觀測值K²，對照臨界值得出結(jié)論；
（2）計算隨機(jī)變量ξ對應(yīng)的概率值，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表如下；

	患心肺疾病	不患心肺疾病	合計
大于40歲	16	4	20
小于等于40歲	8	12	20
合計	24	16	40

計算觀測值K²=$\frac{40×（16×12-8×4）2}{20×20×24×16}$≈6.667＞6.735，
所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為患心肺疾病與年齡有關(guān)；  （6分）
（2）隨機(jī)變量ξ可以取0，1，2，
且P（ξ=0）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{16}^{2}}$=$\frac{66}{120}$=$\frac{11}{20}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{12}^{1}}{{C}_{16}^{2}}$=$\frac{48}{120}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{16}^{2}}$=$\frac{6}{120}$=$\frac{1}{20}$，
故ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{11}{20}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{20}$

數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=0×$\frac{11}{20}$+1×$\frac{2}{5}$+2×$\frac{1}{20}$=$\frac{1}{2}$．（12  分）

點(diǎn)評 本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，也考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗的問題，是中檔題．