Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx，則函數(shù)g（x）=f（x）-f'（x）在區(qū)間[2，e]上的最大值為1-$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 求出g′（x）=$\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$，可得函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，e]上遞增，g（e）=1-$\frac{1}{e}$，即函數(shù)g（x）=f（x）-f'（x）在區(qū)間[2，e]上的最大值為1-$\frac{1}{e}$

解答 解：∵f（x）=lnx，（x＞0），f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴g（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，則g′（x）=$\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$，
在區(qū)間[2，e]上g′（x）＞0恒成立，即函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，e]上遞增，g（e）=1-$\frac{1}{e}$
∴函數(shù)g（x）=f（x）-f'（x）在區(qū)間[2，e]上的最大值為1-$\frac{1}{e}$
故答案為：1-$\frac{1}{e}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，屬于中檔題．