Question

20．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．
（1）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求AD₁與平面ECD₁所成角的正弦值；
（2）當(dāng)AE等于何值時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 （1）先求點(diǎn)A到面ECD₁的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，設(shè)AD₁與平面ECD₁所成角為θ，則可求AD₁與平面ECD₁所成角的正弦值；
（2）過點(diǎn)D作DH⊥EC，垂足為H，連結(jié)D₁H，證明∠D₁HD為二面角D₁-EC-D的平面角，利用等面積求出BE，即可當(dāng)AE等于何值時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為$\frac{π}{4}$．

解答 解：（1）△ECD₁中，EC=$\sqrt{2}$，CD₁=$\sqrt{5}$，ED₁=$\sqrt{3}$，∴ED₁⊥EC，∴${S}_{△{D}_{1}EC}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
設(shè)求點(diǎn)A到面ECD₁的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$，
∴求點(diǎn)A到面ECD₁的距離為h=$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，設(shè)AD₁與平面ECD₁所成角為θ，則$sinθ=\frac{{\frac{{\sqrt{6}}}{6}}}{{A{D_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
（2）過點(diǎn)D作DH⊥EC，垂足為H，連結(jié)D₁H，
∵D₁D⊥平面ABCD，∴D₁D⊥EC，∴EC⊥平面D₁HD，∴D₁H⊥EC，
∴∠D₁HD為二面角D₁-EC-D的平面角，∴$∠{D_1}HD=\frac{π}{4}$，∴DH=DD₁=1，
在△DEC中，$EC=\frac{DC•BC}{DH}=2$，∴$BE=\sqrt{3}$，∴$AE=2-\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角、平面與平面所成角，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．