Question

8．已知a，b，x，y∈R，證明：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²，并利用上述結(jié)論求（sin²x+cos²x）（$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{co{s}^{2}x}$）的最小值（其中x∈R）．

Answer 1

分析 由作差法，可得（a²+b²）（x²+y²）-（ax+by）²，展開后運用完全平方公式，即可得證；再由（sin²x+cos²x））（$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{co{s}^{2}x}$）≥（sinx•$\frac{1}{sinx}$+cosx•$\frac{2}{cosx}$）²，計算即可得到所求最小值．

解答 證明：a，b，x，y∈R，
（a²+b²）（x²+y²）-（ax+by）²
=a²x²+a²y²+b²x²+b²y²-（a²x²+b²y²+2abxy）
=a²y²+b²x²-2abxy
=（ay-bx）²≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)ay=bx等號成立，
即有（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²；
解：由上式可得
（sin²x+cos²x）（$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{co{s}^{2}x}$）
≥（sinx•$\frac{1}{sinx}$+cosx•$\frac{2}{cosx}$）²=（1+2）²=9，
當(dāng)且僅當(dāng)sin²x=$\frac{co{s}^{2}x}{2}$，即有tanx=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，取得最小值9．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用作差法，考查函數(shù)的最小值的求法，注意運用已知不等式，考查運算能力，屬于中檔題．