Question

17．已知函數(shù)f（x）=|x+2|-2|x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥-2的解集M；
（Ⅱ）對任意x∈[a，+∞]，都有f（x）≤x-a成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過對x≤-2，-2＜x＜1與x≥1三類討論，去掉絕對值符號，解相應(yīng)的一次不等式，最后取其并集即可；
（Ⅱ）在坐標(biāo)系中，作出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-4，x≤-2}\\{3x，-2＜x＜1}\\{4-x，x≥1}\end{array}\right.$的圖象，對任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x-a成立，分-a≥2與-a＜2討論，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=|x+2|-2|x-1|，∴不等式f（x）≥-2即 $\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{x-4≥-2}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜1}\\{3x≥-2}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{4-x≥-2}\end{array}\right.$③．
解①求得x∈∅，解②求得-$\frac{2}{3}$≤x＜1，解③求得1≤x≤6，
綜上，不等式的解集為M={x|-$\frac{2}{3}$≤x≤6}．
（Ⅱ）對任意x∈[a，+∞]，都有f（x）≤x-a成立，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-4，x≤-2}\\{3x，-2＜x＜1}\\{4-x，x≥1}\end{array}\right.$ 的圖象如圖所示：
令y=x-a，則此直線斜率為1，-a表示直線的縱截距，故函數(shù)f（x）的圖象在直線y=x-a的下方或在直線上．
當(dāng)直線過（1，3）點時，-a=2，即a=-2；
∴當(dāng)-a≥2，即a≤-2時，條件成立；
當(dāng)-a＜2，即a＞-2時，令-x+4=x-a，得x=2+$\frac{a}{2}$，
∴a≥2+$\frac{a}{2}$，即a≥4時，條件成立，
綜上a≤-2或a≥4．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查等價轉(zhuǎn)化思想與作圖分析能力，突出恒成立問題的考查，屬于難題．