Question

20．已知函數(shù)f（x）=9^x-4•3^x+3
（1）求方程f（x）=0的解；
（2）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得（3^x-1）（3^x-3）=0，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可得到所求解；
（2）令t=3^x，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，可得t∈[1，9]，則g（t）=t²-4t+3，運(yùn)用二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值求法，即可得到所求最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=9^x-4•3^x+3，
可得9^x-4•3^x+3=0，
即（3^x-1）（3^x-3）=0，
解得3^x=1，可得x=0；
3^x=3，可得x=1；
即有f（x）=0的解為0和1；
（2）令t=3^x，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，
可得t∈[1，9]，
則g（t）=t²-4t+3，
當(dāng)t=2∈[1，9]，g（t）取得最小值，且為-1；
當(dāng)t=9時(shí)，g（t）取得最大值，且為48．
則x=log₃2時(shí)，f（x）取得最小值-1；
x=2時(shí)，f（x）取得最大值48．

點(diǎn)評 本題考查指數(shù)方程的解法，注意運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)型的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和二次函數(shù)的最值求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．