Question

11．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），過雙曲線上任意一點(diǎn)P分別作斜率為-$\frac{a}$和$\frac{a}$的兩條直線l₁和l₂，設(shè)直線l₁與x軸、y軸所圍成的三角形的面積為S，直線l₂與x軸、y軸所圍成的三角形的面積為T，則S•T的值為$\frac{{a}^{2}^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），得到直線l₁的方程為y-y₀=-$\frac{a}$（x-x₀），直線l₂的方程為y-y₀=$\frac{a}$（x-x₀），再分別求出A，B，C，D的坐標(biāo)，表示出S，T，計(jì)算ST即可．

解答 解：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）
∴直線l₁的方程為
y-y₀=-$\frac{a}$（x-x₀），
直線l₂的方程為
y-y₀=$\frac{a}$（x-x₀），
∴A（0，y₀+$\frac{a}$x₀），
B（x₀+$\frac{a}$x₀，0），
D（0，y₀-$\frac{a}$x₀），
C（x₀-$\frac{a}$y₀，0），
∴S=$\frac{1}{2}$（y₀+$\frac{a}$x₀）（x₀+$\frac{a}$x₀），T=-$\frac{1}{2}$（y₀-$\frac{a}$x₀）（x₀-$\frac{a}$y₀），
∴ST=-$\frac{1}{4}$（y₀²-$\frac{a}$x₀²）（x₀²-$\frac{a}$y₀²）=$\frac{{a}^{2}^{2}}{4}$，
故答案為：$\frac{{a}^{2}^{2}}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．