12．已知0＜a＜2，證明：$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{2-a}$≥$\frac{9}{2}$．

分析 利用$\frac{1}{a}+\frac{4}{2-a}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{a}+\frac{4}{2-a}）（a+2-a）$=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2-a}{a}+\frac{4a}{2-a}$）$≥\frac{1}{2}（5+2\sqrt{\frac{2-a}{a}×\frac{4a}{2-a}}）=\frac{9}{2}$證明．

解答 解：∵0＜a＜2，∴2-a＞0，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{2-a}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{a}+\frac{4}{2-a}）（a+2-a）$=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2-a}{a}+\frac{4a}{2-a}$）$≥\frac{1}{2}（5+2\sqrt{\frac{2-a}{a}×\frac{4a}{2-a}}）=\frac{9}{2}$
當$\frac{2-a}{a}=\frac{4a}{2-a}$，即a=$\frac{2}{3}$時，取等號

點評 本題考查了綜合法證明不等式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造均值不等式的形式，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x≥1}\\{x+c，x＜1}\end{array}\right.$，則“c=-1”是“函數(shù)在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，再向右平移$\frac{π}{2}$個單位長度，得到g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值及最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

20．關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的普豐實驗和查理斯實驗，受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計π的值，先請120名同學(xué)每人隨機寫下一個都小于1的正實數(shù)對（x，y），再統(tǒng)計兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對（x，y）的個數(shù)m；最后在根據(jù)統(tǒng)計數(shù)m估計π的值，假設(shè)統(tǒng)計結(jié)果是m=34，那么可以估計π的值為（　�。�
A．$\frac{22}{7}$B．$\frac{47}{15}$C．$\frac{51}{16}$D．$\frac{53}{17}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

7．設(shè)A為圓x2+y2-4x-4y+7=0上一動點，則A到直線x-y-5=0的最大距離為$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}+1$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

17．圓（x-2）2+y2=4與圓x2+（y-2）2=4在公共弦所對的圓心角是（　　）
A．$\frac{π}{3}$B．$\frac{π}{4}$C．$\frac{2π}{3}$D．$\frac{π}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

4．甲、乙兩人從6門課程中各選修3門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有180種．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a2+c2-b2=ac，c=2，點G滿足|$\overrightarrow{BG}$|=$\frac{\sqrt{19}}{3}$且$\overrightarrow{BG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），則sinA=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．函數(shù)y=x 2cosx的導(dǎo)數(shù)為（　　）
A．y′=2xcosx-x 2sinxB．y′=2xcosx+x 2sinx
C．y′=x 2cosx-2xsinxD．y′=xcosx-x 2sinx

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