Question

6．曲線y=x³+x在x=1處的切線與x軸，直線x=2所圍成的三角形的面積為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 欲求所圍成的三角形的面積，先求出在點(diǎn)（1，2）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故要利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．

解答 解：∵y=x³+x
∴y'=3x²+1，
當(dāng)x=1時(shí)，y'=4得切線的斜率為4，所以k=4；
所以曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為：
y-2=4×（x-1），即4x-y-2=0．
令y=0得：x=$\frac{1}{2}$，令x=2時(shí)，y=6
∴切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形的面積為：
S=$\frac{1}{2}$×（2-$\frac{1}{2}$）×6=$\frac{9}{2}$
故答案為：$\frac{9}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．