Question

19．設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}$=$\frac{b+c}{c}$．
（1）求角A的大�。�
（2）當a=6時，求△ABC面積的最大值，并指出面積最大時△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形內角和定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得sinB+2cosAsinB=0，又sinB≠0，可得$cosA=-\frac{1}{2}$，結合范圍A∈（0，π），即可得解A的值．
（2）解法一：由余弦定理及基本不等式可得bc≤12，利用三角形面積公式即可得解△ABC面積的最大值，且可得△ABC為等腰三角形；解法二：由三角形面積公式，正弦定理，三角形內角和定理可得S=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}{R^2}sin（2B+\frac{π}{6}）-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{R^2}$，$B∈（0，\frac{π}{3}）$，由正弦定理$2R=\frac{a}{sinA}=\frac{6}{{sin\frac{2π}{3}}}=4\sqrt{3}$，可得R的值，從而利用正弦函數(shù)的性質可求△ABC面積的最大值，即可判斷△ABC為等腰三角形．

解答 解：（1）由$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}=\frac{b+c}{c}$，得$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}=\frac{sinB+sinC}{sinC}$，…（1分）
又sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，…（2分）
∴sin（A-B）=sinB+sinC，
∴sin（A-B）=sinB+sin（A+B），…（3分）
∴sinAcosB-cosAsinB=sinB+sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB+2cosAsinB=0，又sinB≠0，
∴$cosA=-\frac{1}{2}$，…（4分）
∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{2π}{3}$．…（5分）
（2）解法一：由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得36=b²+c²+bc，…（7分）
∵b²+c²≥2bc，
∴36=b²+c²+bc≥3bc，即bc≤12，…（9分）
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc≤3\sqrt{3}$，…（11分）
當且僅當$b=c=2\sqrt{3}$時，“=”成立，
∴△ABC面積的最大值為$3\sqrt{3}$，此時△ABC為等腰三角形．…（12分）
解法二：∴$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$…（6分）
=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}2RsinB•2RsinC=\sqrt{3}{R^2}sinB•sinC$=$\sqrt{3}{R^2}sinB•sin（\frac{2π}{3}-B）$，…（7分）
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}{R^2}sin（2B+\frac{π}{6}）-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{R^2}$，$B∈（0，\frac{π}{3}）$，…（9分）
由正弦定理$2R=\frac{a}{sinA}=\frac{6}{{sin\frac{2π}{3}}}=4\sqrt{3}$，
∴$R=2\sqrt{3}$，…（10分）
當$2B+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$B=C=\frac{π}{6}$時，${S_{max}}=3\sqrt{3}$，…（11分）
∴△ABC面積的最大值為$3\sqrt{3}$，此時△ABC為等腰三角形．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式，正弦函數(shù)的圖象和性質在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題．