Question

10．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則該幾何體的外接球的體積為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}π}}{3}$
• B． $\frac{16π}{3}$
• C． $\frac{26π}{3}$
• D． $\frac{{32\sqrt{3}π}}{27}$

Answer 1

分析 根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，由此求出該幾何體的外接球的半徑，即可求出它的表面積．

解答 解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是底面為等腰直角三角形，高為$\sqrt{3}$的三棱錐；
且該幾何體的外接球球心在側(cè)視圖高上，如圖所示；
設(shè)球心為O，半徑為r，
則${r}^{2}=（\sqrt{3}-r）^{2}$+1，可得r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴所以V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{32\sqrt{3}π}{27}$．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三棱錐的三視圖、球的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．