Question

11．凸邊形的性質(zhì)：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的是凸變形，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意n個(gè)自變量x₁，x₂，…，x_n，有$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）+…+f（{x_n}）}}{n}≤f（\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_n}}}{n}）$，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂=…=x_n時(shí)等號(hào)成立，已知函數(shù)y=sinx上是凸函數(shù)，
則在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 已知f（x）=sinx在區(qū)間（0，π）上是凸函數(shù)，利用凸函數(shù)的性質(zhì)可得，有$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）+…+f（{x_n}）}}{n}≤f（\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_n}}}{n}）$，變形得 sinA+sinB+sinC≤3sin$\frac{π}{3}$問題得到解決．

解答 解：∵f（x）=sinx在區(qū)間（0，π）上是凸函數(shù)，且A、B、C∈（0，π），
∴$\frac{sinA+sinB+sinC}{3}$≤sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴sinA+sinB+sinC≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=$\frac{π}{3}$時(shí)，等號(hào)成立，
∴△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查新定義，凸函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．