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11.凸邊形的性質:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的是凸變形,則對于區(qū)間D內的任意n個自變量x1,x2,…,xn,有fx1+fx2++fxnnfx1+x2++xnn,當且僅當x1=x2=…=xn時等號成立,已知函數(shù)y=sinx上是凸函數(shù),
則在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值為332

分析 已知f(x)=sinx在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),利用凸函數(shù)的性質可得,有fx1+fx2++fxnnfx1+x2++xnn,變形得 sinA+sinB+sinC≤3sin\frac{π}{3}問題得到解決.

解答 解:∵f(x)=sinx在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),且A、B、C∈(0,π),
\frac{sinA+sinB+sinC}{3}≤sin\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},∴sinA+sinB+sinC≤\frac{3\sqrt{3}}{2},當且僅當A=B=C=\frac{π}{3}時,等號成立,
∴△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值為\frac{3\sqrt{3}}{2}
故答案為:\frac{3\sqrt{3}}{2}

點評 本題主要考查新定義,凸函數(shù)的性質應用,屬于中檔題.

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