Question

13．已知圓心為C的圓過原點(diǎn)O（0，0），且直線2x-y+2=0與圓C相切于點(diǎn)P（0，2）．
（1）求圓C的方程；
（2）已知過點(diǎn)Q（0，1）的直線l的斜率為k，且直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)．
①若k=2，求弦AB的長；
②若圓C上存在點(diǎn)D，使得$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CD}$，求直線l的斜率k．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey=0，4+2E=0，∴$\frac{2-1}{\frac{D}{2}}=-\frac{1}{2}$，解得D、E即可；
 （2）①直線l的方程為：y=2x+1，由圓心到直線l的距離為d=$\frac{2×2-1+1}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，可得$AB=2\sqrt{{R}^{2}-ijiqgae^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
②由$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CD}$，得四邊形CADB為菱形，即C到直線AB的距離為半徑的一半，設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，$\frac{|2k-1+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$解得k．

解答 解：（1）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey=0，
∵點(diǎn)（0，2）在圓上，∴4+2E=0，∴E=-2，
∵直線2x-y+2=0與圓C相切，∴$\frac{2-1}{\frac{D}{2}}=-\frac{1}{2}$，解得D=-4，
∴圓C的方程：x²+y²-4x-2y=0．
（2）①直線l的方程為：y=2x+1，即2x-y+1=0，
圓C的圓心為（2，1），半徑為R=$\sqrt{5}$，
圓心到直線l的距離為d=$\frac{2×2-1+1}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴$AB=2\sqrt{{R}^{2}-yddsalk^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
②如圖，∵$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CD}$，∴四邊形CADB為菱形，
∴C到直線AB的距離為半徑的一半，
設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，
$\frac{|2k-1+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得k=$±\frac{\sqrt{55}}{11}$，
∴直線l的斜率k為$±\frac{\sqrt{55}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．