Question

11．若實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-y≤1\\ x-2y+2≥0\\ 2x+y≥2\end{array}\right.$則z=x-ay只在點（4，3）處取得最大值，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，0）∪（1，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，然后對a進行分類，當(dāng)a≥0時顯然滿足題意，當(dāng)a＜0時，化目標函數(shù)為直線方程斜截式，比較其斜率與直線BC的斜率的大小得到a的范圍．

解答 解：由不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-y≤1\\ x-2y+2≥0\\ 2x+y≥2\end{array}\right.$作可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=-2}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，解得C（4，3）．
當(dāng)a=0時，目標函數(shù)化為z=x，由圖可知，
可行解（4，3）使z=x-ay取得最大值，符合題意；
當(dāng)a＞0時，由z=x-ay，得y=$\frac{1}{a}$x$-\frac{z}{a}$，此直線斜率大于0，當(dāng)在y軸上截距最大時z最大，
可行解（4，3）為使目標函數(shù)z=x-ay的最優(yōu)解，
a＜1符合題意；
當(dāng)a＜0時，由z=x-ay，得y=$\frac{1}{a}$x$-\frac{z}{a}$，此直線斜率為負值，
要使可行解（4，3）為使目標函數(shù)z=x-ay取得最大值的唯一的最優(yōu)解，則$\frac{1}{a}$＜0，即a＜0．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）．
故選：D．

點評 本題考查線性規(guī)劃問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，解答的關(guān)鍵是化目標函數(shù)為直線方程斜截式，由直線在y軸上的截距分析z的取值情況，是中檔題．