已知a＞0，b＞0且a+b=1．
求證：（1）
1
a
+
1
b
≥4；
（2）
a+
1
2
+
b+
1
2
≤2．
考點：基本不等式在最值問題中的應用
專題：證明題,不等式的解法及應用
分析：（1）（
1
a
+
1
b
）（a+b）利用均值不等式證明．（2）平方轉化證明即可．
解答： 證明：（1）∵a＞0，b＞0且a+b=1，
∴
1
a
+
1
b
=（
a+b
a
+
a+b
b
）=2+
a
b
+
b
a
≥2+2=4．
∴
1
a
+
1
b
≥4；
（2）要證
a+
1
2
+
b+
1
2
≤2．
只需a+b+1-2
(a+
1
2
)(b+
1
2
)
≤4，
即-2
ab+
3
4
≤1，顯然成立，
∴原不等證
a+
1
2
+
b+
1
2
≤2成立．
點評：本題考查了利用均值不等式法證明不等式，平方轉化證明，屬于容易題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）如圖1，在四面體ABCD中，平行于AB，CD的平面β截四面體所得截面為EFGH．

（�。┤鬉B=a，CD=b （a＞b），求截面EFGH的周長的范圍．
（ⅱ）如果AB與CD所成角為θ，AB=a，CD=b是定值，當E在AC何處時？截面EFGH的面積最大，最大值是多少？
（2）如圖2，若點M為四面體ABCD底面△BCD的重心，任意作一平行于底面的截面分別與側棱AB，AC，AD交于B1，C1，D1與AM交于點M1，試探求：
AB
AB1
+
AC
AC1
+
AD
AD1
=x
AM
AM1
中x的值，并證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

根據(jù)統(tǒng)計資料，某工廠的日產(chǎn)量不超過20萬件，每日次品率P與日產(chǎn)量x（萬件）之間近似地滿足關系式p=
x2+60
540
(0＜x＜≤12)
1
2
(12＜x≤20)
，已知每生產(chǎn)1件正品可盈利2元，而生產(chǎn)1件次品虧損1元，（該工廠的日利潤y=日正品盈利額-日次品虧損額）．
（1）將該過程日利潤y（萬元）表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；
（2）當該工廠日產(chǎn)量為多少萬件時日利潤最大？最大日利潤是多少元？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點為A（0，-1），B（0，1），平面內(nèi)兩點G，M同時滿足：
①G為△ABC的重心；
②M到△ABC三點A，B，C的距離相等；
③直線GM的傾斜角為
π
2
．
（1）求證：頂點C在定橢圓E上，并求橢圓E的方程；
（2）設P，Q，R，N都在曲線E上，點F(
2
，0)，直線PQ與RN都過點F并且相互垂直，求四邊形PRQN的面積S的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在同一直角坐標系中，函數(shù)f（x）=xα（x≥0），g（x）=-logαx的圖象可能是（　�。�
A、
B、
C、
D、

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=（1，2），
b
=（1，1），且向量
a
與
a
+m
b
的夾角為銳角，則m的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a為函數(shù)y=2x+arcsinx-
π
2
的最大值，則二項式（a
x
-
1
x
）6的展開式中含x2項的系數(shù)是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=（1，2），
b
=（-2，1），
u
=
a
+2
b
，則與向量
μ
同向的單位向量
μ0
等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2+m-1，若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則a1=
 
．

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