Question

2．設(shè)三棱錐PABC的頂點P在平面ABC上的射影是H，給出下列命題：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，則H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則H是△ABC的垂心；
③若PA=PB=PC，則H是△ABC的外心．
請把正確命題的序號填在橫線上：①②③．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，然后對應(yīng)選項一一判定即可．

解答 解：①因為PH⊥底面ABC，所以PH⊥BC，又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAH，所以AH⊥BC．同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正確．
②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC，由此推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正確．
③若PA=PB=PC，由此推出AH=BH=CH，則H是△ABC的外心，正確．
故答案為①②③．

點評 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，三垂線定理的應(yīng)用，是中檔題．