Question

7．已知A，B是半徑為$2\sqrt{3}$的球面上的兩點，過AB作互相垂直的兩個平面α、β，若α，β截該球所得的兩個截面的面積之和為16π，則線段AB的長度是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 設過AB作互相垂直的兩個平面α、β截該球所得的兩個截面圓分別為圓O₁，O₂，半徑分別為r₁，r₂，球半徑為R，
則有$\left\{\begin{array}{l}{{R}^{2}=O{{O}_{1}}^{2}+{{r}_{1}}^{2}}\\{{R}^{2}=O{{O}_{2}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}}\end{array}\right.$，⇒$O{{O}_{1}}^{2}+O{{O}_{2}}^{2}=2{R}^{2}-（O{{O}_{1}}^{2}+O{{O}_{2}}^{2}$）
由$π{{r}_{1}}^{2}+π{{r}_{2}}^{2}=16π$⇒${{r}_{1}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}=16$
由OH²=$O{{O}_{1}}^{2}+O{{O}_{2}}^{2}$=8，得AB=2$\sqrt{{R}^{2}-O{H}^{2}}=4$

解答 解：如圖所示：設過AB作互相垂直的兩個平面α、β截該球所得的兩個截面圓分別為圓O₁，O₂，半徑分別為r₁，r₂，球半徑為R，
則有$\left\{\begin{array}{l}{{R}^{2}=O{{O}_{1}}^{2}+{{r}_{1}}^{2}}\\{{R}^{2}=O{{O}_{2}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}}\end{array}\right.$，⇒$O{{O}_{1}}^{2}+O{{O}_{2}}^{2}=2{R}^{2}-（{{r}_{1}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}）$
又因為α，β截該球所得的兩個截面的面積之和為16π，∴$π{{r}_{1}}^{2}+π{{r}_{2}}^{2}=16π$⇒${{r}_{1}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}=16$
∴，$O{{O}_{1}}^{2}+O{{O}_{2}}^{2}=2{R}^{2}-（{{r}_{1}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}）$=2×$（2\sqrt{3}）^{2}-16=8$．
∵OH²=$O{{O}_{1}}^{2}+O{{O}_{2}}^{2}$=8，∴AB=2$\sqrt{{R}^{2}-O{H}^{2}}=4$
故選：D

點評 本題考查了球的性質，把空間問題轉化為平面問題是解題的關鍵，屬于中檔題，