Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{6}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-\sqrt{2}{cos^2}\frac{x}{2}$．
（1）將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)成$Asin（ωx+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的形式；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在$[\frac{π}{2}，π]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和降次公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)可得$Asin（ωx+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的形式；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）x在$[\frac{π}{2}，π]$上，求出內(nèi)層函數(shù)的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)最大值和最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{6}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-\sqrt{2}{cos^2}\frac{x}{2}$．
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$sinx-$\sqrt{2}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cosx）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{6}$）$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得：$2kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$2kπ+\frac{2π}{3}$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$2kπ-\frac{π}{3}$，$2kπ+\frac{2π}{3}$]
（3）∵x∈$[\frac{π}{2}，π]$上，
∴x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴當(dāng)x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
當(dāng)x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵