Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD為等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2$\sqrt{3}$，PA⊥PD，Q為PD的中點．
（Ⅰ）證明：CQ∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線PD與平面AQC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取PA的中點N，連接QN，BN，則可證四邊形BCQN為平行四邊形，得出CQ∥BN，于是CQ∥平面PAB；
（II）取AD的中點M，連接BM；取BM的中點O，連接BO、PO，則可證OB⊥AD，PO⊥平面ABCD，以O為原點建立坐標系，求出$\overrightarrow{PD}$和平面ACQ的法向量$\overrightarrow{n}$的坐標，則|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PD}$＞|即為直線PD與平面AQC所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取PA的中點N，連接QN，BN．
∵Q，N是PD，PA的中點，
∴QN∥AD，且QN=$\frac{1}{2}$AD．
∵PA=2，PD=2$\sqrt{3}$，PA⊥PD，
∴AD=$\sqrt{PA2+PD2}$=4，
∴BC=$\frac{1}{2}$AD．又BC∥AD，
∴QN∥BC，且QN=BC，
∴四邊形BCQN為平行四邊形，
∴BN∥CQ．又BN?平面PAB，且CQ?平面PAB，
∴CQ∥平面PAB．
（Ⅱ）取AD的中點M，連接BM；取BM的中點O，連接BO、PO
由（1）知PA=AM=PM=2，
∴△APM為等邊三角形，
∴PO⊥AM．同理：BO⊥AM．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
以O為坐標原點，分別以OB，OD，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則D（0，3，0），A（0，-1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），C（$\sqrt{3}$，2，0），Q（0，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，3，0），$\overrightarrow{PD}$=（0，3，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AQ}$=（0，$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
設平面AQC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AQ}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+3y=0}\\{\frac{5}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令y=-$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{n}$=（3，-$\sqrt{3}$，5）．
∴cos＜$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}•\sqrt{37}}$=-$\frac{{4\sqrt{37}}}{37}$．
∴直線PD與平面AQC所成角正弦值為$\frac{{4\sqrt{37}}}{37}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，空間向量的應用與線面角的計算，屬于中檔題．