Question

7．若函數(shù)f（x）=xlnx-ax³+$\frac{1}{2}$x²-x存在極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{3}$）
• B． （-∞，0]
• C． （-∞，1）
• D． （-$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 f（x）=xlnx-ax³+$\frac{1}{2}$x²-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=lnx-3ax²+x，若函數(shù)f（x）有極值，則f′（x）=0有解，即lnx-3ax²+x=0有解，可得y=lnx與y=3ax²-x在（0，+∞）上有交點(diǎn)，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f（x）=xlnx-ax³+$\frac{1}{2}$x²-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=lnx-3ax²+x，
若函數(shù)f（x）有極值，則f′（x）=0有解，即lnx-3ax²+x=0有解，
∴y=lnx與y=3ax²-x在（0，+∞）上有交點(diǎn)，
a≤0時(shí)恒成立；a＞0時(shí)，$\frac{1}{3a}$＞1，∴0＜a＜$\frac{1}{3}$，
綜上所述，a＜$\frac{1}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，以及充要條件的判斷，屬于中檔題．