Question

2．如圖甲所示，豎直面MN的左側(cè)空間中存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)（上、下及左側(cè)無(wú)邊界）．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q，可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電小球，以水平初速度v₀沿PQ向右做直線運(yùn)動(dòng)．若小球剛經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)（t=0），在電場(chǎng)所在空間疊加如圖乙所示隨時(shí)間周期性變化、垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使得小球再次通過(guò)D點(diǎn)時(shí)與PQ連線成60°角．已知D、Q間的距離為（$\sqrt{3}$+1）L，t₀小于小球在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，忽略磁場(chǎng)變化造成的影響，重力加速度為g．求：

（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）t₀與t₁的比值；
（3）小球過(guò)D點(diǎn)后將做周期性運(yùn)動(dòng)．則當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的周期最大時(shí)，求出此時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀及運(yùn)動(dòng)的最大周期T_m的大小，并在圖中畫出此情形下小球運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電場(chǎng)力與重力，二力平衡，即可求解；
（2）根據(jù)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與半徑公式，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求解；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系，由牛頓第二定律，即可求解．

解答 解：（1）小球在電場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)二力平衡，則有：mg=qE；
解得：E=$\frac{mg}{q}$；
（2）小球能再次通過(guò)D點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示，設(shè)圓弧半徑為r；
則有：s=v₀t；
由幾何關(guān)系，有s=$\frac{r}{tan30°}$；
設(shè)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則：T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$；
t₀=$\frac{2}{3}T$；
由以上式聯(lián)立可解得：$\frac{{t}_{0}}{{t}_{1}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}π$；
（3）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的周期最大時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)與MN相切，如圖2所示，
由幾何關(guān)系，則有：R+$\frac{R}{tan30°}=（\sqrt{3}+1）L$；
由牛頓第二定律，則有：qv₀B=m$\frac{{v}^{2}}{R}$；
解得：B₀=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；
最大周期  ${T}_{m}=\frac{s}{{v}_{0}}=\frac{（4π+6\sqrt{3}）L}{{v}_{0}}$
小球運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡，如圖3所示，

答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小$\frac{mg}{q}$；
（2）t₀與t₁的比值：$\frac{{t}_{0}}{{t}_{1}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}π$；
（3）小球過(guò)D點(diǎn)后將做周期性運(yùn)動(dòng)．則當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的周期最大時(shí)，求出此時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小B₀=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；運(yùn)動(dòng)的最大周期T_m的大小$\frac{（4π+6\sqrt{3}）L}{{v}_{0}}$，小球運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡如上圖所示．

點(diǎn)評(píng) 考查粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，掌握牛頓第二定律的應(yīng)用，注意幾何關(guān)系的正確建立，理解二力平衡條件．