Question

4．據(jù)報道，一兒童玩耍時不慎從20m的陽臺上由靜止掉下，在他剛下落時恰被樓下一管理人員發(fā)現(xiàn)，該管理員迅速由靜止起動沖向兒童落地點，準備接住兒童（不計管理人員的反應時間）．為確保安全穩(wěn)妥的接住兒童，管理人員將盡力節(jié)約時間，但又必須到達兒童落地點時速度為零，將兒童和管理人員都看做質(zhì)點，設管理人員奔跑過程中只做勻速運動或勻變速運動，已知管理人員初位置到兒童落地點距離為8m，g取10m/s²．不計空氣阻力，管理人員接住兒童時離地的高度不計，求：
（1）管理人員從初位置跑到兒童落地點的平均速度至少多大？
（2）若管理人員在加速或減速過程中的加速度大小相等，且最大速度不超過7m/s，求管理人員奔跑時加速度的最小值是多大（保留兩位有效數(shù)字）？

Answer 1

分析 （1）兒童掉下做自由落體運動，可以通過自由落體的位移公式求出時間，根據(jù)時間再求管理員的最小平均速度．
（2）管理員先加速到速度最大，再勻速，再減速到0，抓住三段時間和等于自由落體的時間，三段位移和等于管理員到樓底的距離，求出最小加速度．

解答 解：（1）兒童下落的時間為t
$H=\frac{1}{2}g{t}^{2}$   
解得：t=2s
他要能接住兒童，奔跑的時間要小于2s
由x=vt，v=4m/s
故管理員的平均速度至少為4m/s．
（2）假設管理人員先勻加速接著勻減速奔跑到樓底，奔跑過程中的最大速度為v₀，由運動學公式得：$\overline{{v}_{0}}=\frac{{v}_{0}+0}{2}$，
得：${v}_{0}=2\overline{v}=8＞7m/s$，所以先加速，再勻速，最后勻減速奔跑到樓底．
設勻加速、勻速、勻減速過程的時間分別為名；t₁、t₂、t₃，位移分別為s₁、s₂、s₃，
由運動學公式得，${s}_{1}=\frac{1}{2}{at}_{1}^{2}$…④，
${s}_{3}=\frac{1}{2}{at}_{3}^{2}$…⑤，
s₂=v_maxt₂…⑥，
v_max=at₁=at₃…⑦，
t₁+t₂+t₃≤t₀…⑧，
s₁+s₂+s₃=s…⑨
由④～⑨聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：a≥8.2m/s²．
故加速度應滿足a≥8.2m/s²．
答：（1）管理人員至少要4m/s的平均速度跑到樓底．
（2）若管理人員在加速或減速過程中的加速度大小相等，且最大速度不超過9m/s，則管理人員奔跑時加速度需滿足a≥8.2m/s²

點評 解決本題的關鍵抓住小孩自由下落的時間和管理員運動的時間相等，靈活運用運動學公式求解