Question

7．在光滑的水平面上，停著一輛平板小車，小車的質量為M=10kg．在小車左端A處放有質量為m=5kg的物體a（可視為質點），緊靠小車右腳有一個半徑R=1.8m的四分之一光滑圓孤軌道，軌道下端水平，如圖所示，現讓一質量M₁=10kg的小滑塊b（可視為質點）從軌道頂端自由滑下與小車相撞，碰撞時間極短且沒有機械能損失，已知物體a與平板車間的動摩擦因數μ=0.4，后來物體在平板車上相對于小車向右滑行L后被彈回，最后剛好在A點與車保持相對靜止，g=10m/s²，求：
（1）滑塊b與小車碰撞前的速度；
（2）L的大小；
（3）彈簧在壓縮過程中所具有的最大彈性勢能E_P．

Answer 1

分析 根據動能定理求出滑塊b滑到底端時的速度大小，與小車碰撞的瞬間，動量守恒，機械能守恒，根據動量守恒定律和能量守恒定律求出碰后瞬間小車的速度，以物體a與小車為系統(tǒng)，當兩者相對靜止時，速度相同，結合動量守恒定律和能量守恒定律求出L的大�。�
當彈簧彈性勢能最大時，a與小車速度也相等，結合能量守恒定律求出最大的彈性勢能．

解答 解：（1、2）設滑塊b與小車碰前的速度為v₁，由機械能守恒得，
${M}_{1}gR=\frac{1}{2}{M}_{1}{{v}_{1}}^{2}$    ①
代入數據解得v₁=6m/s．
滑塊b與小車碰撞，設滑塊b碰后速度為v₂，小車碰后速度為v₃，由動量守恒與機械能守恒有：
M₁v₁=M₁v₂+Mv₃，②
$\frac{1}{2}{M}_{1}{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}{M}_{1}{{v}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{3}}^{2}$，③
代入數據，聯立②③解得v₂=0，v₃=6m/s．
物體a與小車相互作用，設a與小車達到相對靜止時，共同速度為v₄，由動量守恒定律得，
Mv₃=（M+m）v₄   ④
當a與小車在A點相對靜止時，由功能關系得，
$\frac{1}{2}M{{v}_{3}}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{4}}^{2}+μmg•2L$   ⑤
聯立④⑤代入數據解得L=1.5m．
（3）當彈簧彈性勢能最大時，a與小車的速度也相等，由 能量守恒得，
$\frac{1}{2}M{{v}_{3}}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{4}}^{2}+{E}_{p}+μmgL$    ⑥
聯立④⑥代入數據解得E_p=30J．
答：（1）滑塊b與小車碰撞前的速度為6m/s；
（2）L的大小為1.5m；
（3）彈簧在壓縮過程中所具有的最大彈性勢能為30J．

點評 本題考查了動量守恒定律、動能定理、能量守恒定律，綜合性較強，對學生的能力要求較高，在運用動量守恒定律時，關鍵要合理地選擇研究的系統(tǒng)．