5. 設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)，則關(guān)于的方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是 　　 ( )

A. 且　 B. 且　 C. 且　 D. 且

4. 若函數(shù)，則該函數(shù)在上是　　　　　　 ( )

　　 A. 單調(diào)遞減無(wú)最小值　　　　 　　　　 B. 單調(diào)遞減有最小值

　　 C. 單調(diào)遞增無(wú)最大值　　　　 　　　　 D. 單調(diào)遞增有最大值

3. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，有下列三個(gè)命題：

(1)若存在常數(shù)，使得對(duì)任意，有，則是函數(shù)的最大值；

(2)若存在，使得對(duì)任意，且，有，則是函數(shù)的最大值；

(3)若存在，使得對(duì)任意，有，則是函數(shù)的最大值.這些命題中，真命題的個(gè)數(shù)是　 (　 )

　　 A. 0個(gè)　　　　　　 B. 1個(gè)　　　　　　 C. 2個(gè)　　　　　　 D. 3個(gè)

2. 函數(shù)　　　　 ( )

1. 函數(shù)y=|log_­2x|的圖象是　　　　　　　　　　　　　　　　 ( )

　

3、復(fù)習(xí)建議

(1)認(rèn)真落實(shí)本章的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，注意揭示概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)

①函數(shù)的表示方法除解析法外還有列表法、圖象法，函數(shù)的實(shí)質(zhì)是客觀世界中量的變化的依存關(guān)系；

②中學(xué)數(shù)學(xué)中的“正、反比例函數(shù)，一次、二次函數(shù)，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)”稱為基本初等函數(shù)，其余的函數(shù)的解析式都是由這些基本初等函數(shù)的解析式形成的. 要把基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)，并且理解記憶；

③掌握函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的一般判定方法，并能聯(lián)系其相應(yīng)的函數(shù)的圖象特征，加強(qiáng)對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性應(yīng)用的訓(xùn)練；

④注意函數(shù)圖象的變換：平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換等；

⑤掌握復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性；

(2)以函數(shù)知識(shí)為依托，滲透基本數(shù)學(xué)思想和方法

①數(shù)形結(jié)合的思想，即要利用函數(shù)的圖象解決問題；

②建模方法，要能在實(shí)際問題中引進(jìn)變量，建立函數(shù)模型，進(jìn)而提高解決應(yīng)用題的能力，培養(yǎng)函數(shù)的應(yīng)用意識(shí)。

(3)深刻理解函數(shù)的概念，加強(qiáng)與各章知識(shí)的橫向聯(lián)系

　　 要與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識(shí)本章內(nèi)容的“雙基”，準(zhǔn)確、深刻地理解函數(shù)的概念，才能正確、靈活地加以運(yùn)用，養(yǎng)成自覺地運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)思考和處理問題的習(xí)慣；高考范圍沒有的內(nèi)容例如指數(shù)不等式(方程)、對(duì)數(shù)不等式(方程)等不再作深入研究；導(dǎo)數(shù)可用來(lái)證明函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最大值和最小值，并啟發(fā)學(xué)生建構(gòu)更加完整的函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

所謂函數(shù)思想，實(shí)質(zhì)上是將問題放到動(dòng)態(tài)背景上去考慮，利用函數(shù)觀點(diǎn)可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數(shù)列、曲線等問題。

[典型例題]

例1. 設(shè)是R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上遞增，若成立，求a的取值范圍。

解：

故為所求。

例2. 關(guān)于x的不等式2·3^2x–3^x+a²–a–3＞0，當(dāng)0≤x≤1時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　 .

解：設(shè)t=3^x，則t∈［1,3］，原不等式可化為a²–a–3＞–2t²+t,t∈［1,3］.

等價(jià)于a²–a–3大于f(t)=–2t²+t在［1,3］上的最大值.

答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)

例3. 設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，而當(dāng)時(shí)，(c為常數(shù))。

(1)求的表達(dá)式；

(2)對(duì)于任意，且，求證：；

(3)對(duì)于任意，且，求證：1.

解：(1)設(shè)g(x)上點(diǎn)與f(x)上點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)，

∴　 ；∵在g(x)圖象上

∴

∵g(x)定義域?yàn)?i style='mso-bidi-font-style:normal'>x∈[2,3]，而f(x)的圖象與g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

所以，上述解析式是f(x)在[–1，0]上的解析式

∵f(x)是定義在[–1,1]上的奇函數(shù)，∴f(0)=0，∴c=–4　

所以，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，–x∈[–1，0]，f(x)=–f(–x)=–　

所以

(2)當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，

∵，∴，所以

(3)∵，∴

∴，∴

即

例4. 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足① ②存在正常數(shù)a，使f(a) = 1，求證：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為4a。

證明：(1)令x =x₁ - x₂

則f( - x) = f ( x₂ - x₁)=

= －f (x₁ －x₂ )= －f (x)，∴f (x)為奇函數(shù)。

(2)∵f( x+a ) = f[x － ( －a ) ]=

∴f (x+2a )=

∴f ( x+4a)==f (x)

　∴f (x)是以4a為周期的周期函數(shù)。

例5. 已知函數(shù)f(x)=log_m

(1)若f(x)的定義域?yàn)?sub>，(β＞α＞0)，判斷f(x)在定義域上的增減性，并加以說(shuō)明；

(2)當(dāng)0＜m＜1時(shí)，使f(x)的值域?yàn)?sub>的定義域區(qū)間為

(β＞α＞0)是否存在？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)x＜–3或x＞3.

∵f(x)定義域?yàn)?sub>,∴α＞3

設(shè)β≥x₁＞x₂≥α，有

當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f(x)為減函數(shù)，當(dāng)m＞1時(shí)，f(x)為增函數(shù).

(2)若f(x)在上的值域?yàn)?sub>

∵0＜m＜1, f(x)為減函數(shù).

∴

即

即α,β為方程mx²+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的兩個(gè)根

∴　 ∴0＜m＜

故當(dāng)0＜m＜時(shí)，滿足題意條件的m存在.

例6. 已知函數(shù)f(x)=x²–(m+1)x+m(m∈R)

(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的兩個(gè)實(shí)根，A、B是銳角三角形ABC的兩個(gè)內(nèi)角.求證：m≥5;

(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)α,恒有f(2+cosα)≤0，證明m≥3;

(3)在(2)的條件下，若函數(shù)f(sinα)的最大值是8，求m.

解：(1)證明：f(x)+4=0即x²–(m+1)x+m+4=0.依題意：

　 又A、B銳角為三角形ABC內(nèi)兩內(nèi)角

∴＜A+B＜π

∴tan(A+B)＜0，即

∴∴m≥5

(2)證明：∵f(x)=(x–1)(x–m)

又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0

即1≤x≤3時(shí)，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0

∴m≥x但x_max=3，∴m≥x_max=3

(3)解：∵f(sinα)=sin²α–(m+1)sinα+m=

且≥2,∴當(dāng)sinα=–1時(shí)，f(sinα)有最大值8.

即1+(m+1)+m=8，∴m=3

例7. 已知函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集。(1)求實(shí)數(shù)m的所有允許值組成的集合M；(2)求證：對(duì)所有，恒有 。

證明(1)∵的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集

(2)令

例8. 設(shè)=，(a>0,a≠1)，求證：(1)過函數(shù)y=f(x)圖象上任意兩點(diǎn)直線的斜率恒大于0；(2)f(3)>3。

解：(1)令t=，則x=，f(x)= 　(t∈R)

∴f(x)= 　(x∈R)

設(shè)，f()－f()=

(1)a>1時(shí)，…，f()<f()，∴f(x)在(－∞,+∞)上單調(diào)遞增

(2)0<a<1時(shí)，…，f()<f()，∴f(x)在(－∞,+∞)上單調(diào)遞增

∴<時(shí)，恒有f()<f()，∴k=>0

(2)f(3)=

∵a>0，a≠1　 ∴　 ∴上述不等式不能取等號(hào)，∴f(3)>3

例9. 已知函數(shù)f(x)=lg(的定義域?yàn)?0，+∞)，問是否存在這樣的a,b，使f(x)恰在(1，+∞)上取正值，且f(3)=lg4，若存在，求出a,b的值，若不存在，說(shuō)明理由。

解：由，得，∵a>1>b>0，∴>1，∴x>log

又f(x)定義域?yàn)?0，+∞)，∴l(xiāng)og=0，k=1，∴f(x)=lg

設(shè)0<，，∵a>1>b>0，∴a< a，－b< b

∴0< a－b< a－ b，∴0<<1，∴l(xiāng)g<0

∴，∴f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)

∴x(1,+∞)時(shí)，必有f(x)>f(1)=lg(a－b)

∵f(x)在(1，+∞)上取正值，∴l(xiāng)g(a－b)=0　 a－b=1　 (1)

又f(3)=lg4　 ∴l(xiāng)g=lg4， =4　　　 (2)

解(1)(2)得：，b=，即有在，b=時(shí)滿足題設(shè)條件。

例10. 設(shè)二次函數(shù)f(x)= ax² +bx+c (a>0且b≠0)。

(1)已知|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1，試求f(x)的解析式和f(x)的最小值；

(2)已知f(x)的對(duì)稱軸方程是x=1，當(dāng)f(x)的圖象在x軸上截得的弦長(zhǎng)不小于2時(shí)，試求a, b, c滿足的條件；

(3)已知|b|<a, |f(0)|1, |f(-1)|1, |f(1)|1，當(dāng)|x|1時(shí)，證明：|f(x)|

解：(1)由|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|知|c|=1，|a+b+c|=1，|a-b+c|=1

∴(a+b+c)²=(a-b+c)²即4(a+c)b=0

∵b≠0　 ∴a+c=0，即：a=-c

又∵a>0　 ∴a=1 c=-1　 此時(shí)b=+1　 ∴f(x)=x² + x-1

于是 f(x)=(x + )²　　 ∴[f(x)]

　　 (2)依題意即b=-2a，∵a>0且b≠0　 ∴b<0

令f(x)=0的兩根為x₁，x₂，則函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(x₁，0)，(x₂，0)

且，滿足題設(shè)的充要條件是

∴a>0，c0，b<0且b=－2a為所求

　　 (3)方法1：

　　 ∵|2b|=|(a+b+c)-(a-b+c)|<|a+b+c|+|a-b+c|<2　 ∴|b|1　 又|b||a|　 ∴1　

又|c|=|f(0)|1　 又|f(

而f(x)所示開口向上的拋物線且|x|<1，則|f(x)|的最大值應(yīng)在x=1或x=-1或x=-時(shí)取到，因|f(-1)|<1, |f(1)|1, |f(-)|　 故|f(x)|得證。

　　 方法2：

令f(x)=uf(1)+vf(-1)+(1-u-v)f(0) 則f(x)=(a+b+c)u+(a-b+c)v+(1-u-v)c

ax² +bx+c=a(u+v)+b(u-v)+c

∴　　

∴f(x)=

而|f(1)| 1, |f(-1)|1, |f(0)|1

∴<　 x∈[-1, 1]

　　 =|x|·==

綜上，當(dāng)|f(0)|1, |f (-1)|1, |f(-1)|1, |x|1時(shí)，|f(x)|

方法3：我們可以把，和當(dāng)成兩個(gè)獨(dú)立條件，先用和來(lái)表示.

∵ ,

∴ ,

∴ .

∴ 當(dāng)時(shí)，，所以，根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得：

，，

∴

綜上，問題獲證.

[模擬試題]

2、熱點(diǎn)分析

　　 函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點(diǎn)和思想方法貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的全過程，包括解決幾何問題。在近幾年的高考試卷中，選擇題、填空題、解答題三種題型中每年都有函數(shù)試題，而且�？汲Ｐ�。以基本函數(shù)為背景的應(yīng)用題和綜合題是高考命題的新趨勢(shì)。

　　 考試熱點(diǎn)：①考查函數(shù)的表示法、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性和函數(shù)的圖象。②函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列是相互關(guān)聯(lián)的概念，通過對(duì)實(shí)際問題的抽象分析，建立相應(yīng)的函數(shù)模型并用來(lái)解決問題，是考試的熱點(diǎn)。

③考查運(yùn)用函數(shù)的思想來(lái)觀察問題、分析問題和解決問題，滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論的基本數(shù)學(xué)思想。

1、高考要求

(1)了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

(2)了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法，并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化函數(shù)圖像的繪制過程.

(3)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì). 掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

(4)理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì). 掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

(5)能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

專題：函數(shù)

(四)說(shuō)明書式

　福建 考生

　產(chǎn)品名：心靈牌天平

　測(cè)量物：有待認(rèn)知的事物

　構(gòu)件：靈魂骨架一個(gè)，心靈托盤兩件，“親疏關(guān)系”、“眼觀”、“耳聽”、“心品”四套砝碼各一

　精確度：因人而異！

　使用方法細(xì)則及示例：

　(1)遵守左盤放物、右盤放碼的總原則；

　(2)若只放“親疏關(guān)系”碼則測(cè)量必不準(zhǔn)！下示例以作警示：

�、俟庞匈t人形貌昳麗，窺鏡自視，自知不若另一男子徐公者。賢人問其妻、其妾、其客：“我與徐公，孰美？”其妻曰：“徐公不若君之美也！”其妾、其客皆曰：“群美甚，徐公何能及君也！”妻妾客皆以“親疏關(guān)系”碼去測(cè)量此美男子，從而導(dǎo)致結(jié)果與事實(shí)大相徑庭。該賢人喟嘆不已。

�、谖覈�(guó)改革開放之初，經(jīng)濟(jì)衰敗，如何復(fù)興經(jīng)濟(jì)、重振國(guó)威成為領(lǐng)導(dǎo)人的首要任務(wù)！有識(shí)之士提出發(fā)展部分特區(qū)，吸收外資，引他山活水以浚我處泉源。誰(shuí)料此聲一出當(dāng)即慘遭鎮(zhèn)壓，大部分人以“親疏關(guān)系”草率否定資本主義的優(yōu)點(diǎn)。好在高瞻遠(yuǎn)矚的鄧總設(shè)計(jì)師提出改革開放、大膽吸收外資，從而使復(fù)興偉業(yè)蒸蒸日上。

�、鄯堑洳《�，肆虐神州，但與普通肺炎的6%~7%的死亡率比起來(lái)，非典3%-4%則小了許多，那么為何這冠狀病毒會(huì)引起如此恐慌呢？因?yàn)槿藗冇谩坝H疏關(guān)系”去測(cè)量非典，一致認(rèn)為“陌生”即是“恐怖”的代名詞。非典一事證明該測(cè)量的不準(zhǔn)確性。

�、軓垏�(guó)榮，這個(gè)被許多明星和影迷親切地稱為“哥哥”的人，有誰(shuí)料到他會(huì)跳樓自殺呢？有誰(shuí)真正了解他，認(rèn)知他呢？“親疏關(guān)系”碼這一次又測(cè)錯(cuò)了！

　(3)測(cè)量事物應(yīng)該四碼皆用，先放“眼觀”、“耳聽”兩碼，從外觀表像入手，再放“親疏關(guān)系”碼，最后別忘了最重要的“心品”碼！唯有知其心才能識(shí)其人�，F(xiàn)舉例說(shuō)明：

�、夙n國(guó)前任總統(tǒng)金大中兢兢業(yè)業(yè)，其二子卻貪財(cái)受賄。金大中經(jīng)過認(rèn)真測(cè)量，將其子送上法庭，受到國(guó)人尊敬，傳為美談。

�、趯⒛�正確測(cè)量的結(jié)果填于此

　(4)本產(chǎn)品隨測(cè)量的正確率的提高而提升精確度！

　(5)使用年限：從出生至死亡�！�

　簡(jiǎn)評(píng)：作者思維活躍，采用變異的說(shuō)明文形式表現(xiàn)深刻的主題，的確別具新意。形式的新穎使文章在結(jié)構(gòu)安排、內(nèi)容的選擇上有了廣闊的空間，借助說(shuō)明書的外衣，巧妙地談?wù)摿宋覀冊(cè)谡J(rèn)識(shí)事物和處理問題的時(shí)候，如果只重視親疏關(guān)系，必然導(dǎo)致認(rèn)識(shí)的不準(zhǔn)確，語(yǔ)言詼諧幽默�！�