問(wèn)題1．(全國(guó)Ⅱ文)下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：

①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．

②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．

③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐．

④側(cè)棱與底面所成的角相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．

其中，真命題的編號(hào)是　　　　　　 (寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))

(江西文)如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱(chēng)它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱(chēng)為它的腰，以下個(gè)命題中，假命題是

等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等　　　　　　　　　　　　　　　　

等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ)

等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓

等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上

(全國(guó))下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：

①　　 若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；

②　　 若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；

③　　 若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱；

④　　 若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱.

其中，真命題的編號(hào)是　　　　　 　　　(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)).

(江西文)如右圖，已知正三棱柱

的底面邊長(zhǎng)為，高為，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱

的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為　　　　　

問(wèn)題2．三棱柱中，，

、、的長(zhǎng)均為，點(diǎn)在底面

上的射影在上.

求與側(cè)面所成的角；

若點(diǎn)恰是的中點(diǎn)，求此三棱柱的側(cè)面積；

求此三棱柱的體積.

問(wèn)題3．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，用一個(gè)

平行于底面的平面截此四面體，所得的截面面積為，

求截面與底面之間的距離.

問(wèn)題4．如圖所示，三棱錐中，，

，，

求三棱錐的體積.(要求用四種不同的方法)

有兩個(gè)面互相平行，其余各面的公共邊互相平行的多面體叫做棱柱.側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱.

棱柱的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是平行四邊形；長(zhǎng)方體的對(duì)角線的平方等于由一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的平方和.

一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體叫做棱錐.底面是正多邊形并且頂點(diǎn)在底面上的射影是正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.

棱錐中與底面平行的截面與底面平行，并且它們面積的比等于對(duì)應(yīng)高的平方比.

在正棱錐中，側(cè)棱、高及側(cè)棱在底面上的射影構(gòu)成直角三角形；斜高、高及斜高在底面上的射影構(gòu)成直角三角形.

三棱錐的頂點(diǎn)在底面三角形上射影位置常見(jiàn)的有：

①　　 側(cè)棱長(zhǎng)相等外心；②側(cè)棱與底面所成的角相等外心；

②　　 側(cè)面與底面所成的角相等內(nèi)心；④頂點(diǎn)到底面三邊的距離相等內(nèi)心；

⑤三側(cè)棱兩兩垂直垂心；⑥相對(duì)棱兩兩垂直垂心.

求體積常見(jiàn)方法有：①直接法(公式法)；②轉(zhuǎn)移法：利用祖暅原理或等積變化，把所求的幾何體轉(zhuǎn)化為與它等底、等高的幾何體的體積；③分割法求和法：把所求幾何體分割成基本幾何體的體積；④補(bǔ)形法：通過(guò)補(bǔ)形化歸為基本幾何體的體積；⑤四面體體積變換法；⑥利用四面體的體積性質(zhì)：(ⅰ)底面積相同的兩個(gè)三棱錐體積之比等于其底面積的比；(ⅱ)高相同的兩個(gè)三棱錐體積之比等于其底面積的比；(ⅲ)用平行于底面的平面去截三棱錐，截得的小三棱錐與原三棱錐的體積之比等于相似比的立方.

(福建)如圖，直二面角中，四邊形是邊長(zhǎng)

為的正方形，，為上的點(diǎn)，且平面.

求證：平面(略去不寫(xiě))；

求二面角的大小(略去不寫(xiě))；

求點(diǎn)到平面的距離.

(遼寧)如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，、分別是兩條棱的中點(diǎn)，

、、是頂點(diǎn)，那么點(diǎn)到截面的距離是　　　　

(天津)如圖，在正三棱柱中，

若二面角的大小為，

則點(diǎn)到直線的距離為　　　　　

如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，是底面

的中心，則到平面的距離為　

(湖北文)如圖，已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)

和底面邊長(zhǎng)均為，是底面邊上的中點(diǎn)，是側(cè)棱

上的點(diǎn)，且.

求二面角的平面角的余弦值(略去不寫(xiě))；

求點(diǎn)到平面的距離(請(qǐng)用多種方法，至少要用向量法)

平面，是平面的兩條斜線，是在平面內(nèi)的射影，，，，，則點(diǎn)到直線的距離為　　　　

在長(zhǎng)方體中，，，則直線與平面的距離是　　 　　 　　 　　

如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面，，．是的中點(diǎn)．

求證：平面平面(略去不寫(xiě))；　　　　　　　

求二面角所成平面角的余弦值(略去不寫(xiě))；

求點(diǎn)到平面的距離．

如圖，在長(zhǎng)方體中，，

，.

求證：平面∥平面(略去不寫(xiě))；

求平面與平面間的距離.

問(wèn)題1．(江西)如圖，在長(zhǎng)方體中，，，

點(diǎn)在棱上移動(dòng).略；當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離；略

　　　　　　　　　　　　　 　(請(qǐng)用多種方法，至少要用向量法)

問(wèn)題2．(遼寧)如圖，在直三棱柱中，，，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，二面角為．

證明：(此小題略去不寫(xiě))；

求的長(zhǎng)，并求點(diǎn)到平面的距離．

(請(qǐng)用多種方法，至少要用向量法)

問(wèn)題3．(湖北文)在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且(≤≤)．則點(diǎn)到平面的距離為

問(wèn)題4．(重慶)如圖，在三棱柱中，側(cè)面，為棱上異于、的一點(diǎn)，，已知，，，

，求：異面直線與的距離；略.

問(wèn)題5．棱長(zhǎng)均為的正三棱柱中，為的中點(diǎn)，

連結(jié)，，.求證：∥平面

(略去不寫(xiě))；求到平面的距離.

七種距離：點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點(diǎn)到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個(gè)平行平面之間的距離，其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、點(diǎn)到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離.

點(diǎn)與點(diǎn)的距離：解三角形及多邊形；向量法：空間任意兩點(diǎn)、間的距離即線段

的長(zhǎng)度：設(shè)、，則

兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度.

說(shuō)明：兩條異面直線的距離等于其中一條直線到過(guò)另一條直線且與這條直線平行的平面的距離

求法：直接法：求兩異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度；

轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為線面距離或面面距離；向量法：

法一、找平面使且∥，則異面直線、的距離

就轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，又轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離．

法二、在上取一點(diǎn), 在上取一點(diǎn), 設(shè)、分別

為異面直線、的方向向量,求(， )，

則異面直線、的距離

(此方法移植于點(diǎn)面距離的求法)．

點(diǎn)到平面的距離：已知點(diǎn)是平面外的任意一點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則唯一，則是

點(diǎn)到平面的距離.即 一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影

的距離叫做這一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.

結(jié)論：連結(jié)平面外一點(diǎn)與內(nèi)一點(diǎn)所得的線段中，垂線段最短.

求法：直接法：過(guò)點(diǎn)作一平面與平面垂直，再過(guò)點(diǎn)作兩平面的交線的垂線即可

等體積法：線面平行法：若過(guò)點(diǎn)有一直線∥平面，則直線上的任一點(diǎn)到平面的距離等于到點(diǎn)到平面的距離.線段比例轉(zhuǎn)化法：平面的統(tǒng)一斜線上的兩點(diǎn)到該平面的距離與這兩點(diǎn)到斜足的距離成比例，運(yùn)用此結(jié)論可轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到該平面的距離.

向量法：法一、設(shè)是平面的法向量，在內(nèi)取一點(diǎn),

則到的距離

法二、設(shè)于,利用和點(diǎn)在內(nèi)的向量表示，可確定點(diǎn)的位置，從而求出，即直接求垂線段的長(zhǎng)度.

直線到與它平行平面的距離：一條直線上的任一點(diǎn)到與它平行的平面的距離,叫做這條直線到平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離).

距離的共性：這其中距離中，雖然定義不同，但總具有下列幾個(gè)特征：

某距離是指相應(yīng)線段的長(zhǎng)度；此線段是相關(guān)線段中最短的；除兩點(diǎn)間的距離外，其余總與垂直相聯(lián)系，由此求距離的方法就有幾何法和代數(shù)等方法.

求距離的一般步驟：找出或作出相關(guān)的距離；證明它符合定義；歸到某三角形或多邊形中計(jì)算;作答.

(浙江)在如圖所示的幾何體中，平面，平面，，且，是的中點(diǎn)．

求證：；

求與平面所成的角．

(北京)如圖，在中，，斜邊．

可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，

且二面角是直二面角．動(dòng)點(diǎn)的斜邊上．

求證：平面平面；

當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的大小；

求與平面所成角的最大值．

v

(福建)如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)．

求證：平面(此小題這里略去不做)；

求二面角的大��；

求點(diǎn)到平面的距離．

問(wèn)題1．(全國(guó)Ⅰ)四棱錐中，底面為平行四邊形，

側(cè)面底面．已知，

，，．

證明：；

求直線與平面所成角的大小．

(本小題要求用多種方法解答,包括向量法).

問(wèn)題2． (屆高三湖北、荊州、宜昌月模擬)

邊長(zhǎng)為的正方體中，是棱

上任一點(diǎn)，().

若時(shí)，求證：面面；

試確定值，使直線與平面所成的角

的正切值為.

問(wèn)題3．(四川)如圖，是直角梯形，，∥，

，，又，，

，直線與直線所成的角為.

求證：平面⊥平面；

求二面角的大小;

求三棱錐的體積.

(要求第小題用多種方法解答,包括向量法).

問(wèn)題4．(陜西)如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，

，，平面．，，，

求證：平面(此小題這里略去不做)；求二面角的大小．

(要求第小題用多種方法解答,包括向量法).

(三)課后作業(yè)：

如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，

是底面的中心，，分別是，的

中點(diǎn).那么異面直線和所成角的余弦值等于　　　

(浙江文)在三棱錐中，，

點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，底面.

求證：平面；

求直線與平面所成角的大小

如圖，的邊長(zhǎng)為，，，

都垂直于平面，且，

，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線

與平面所成的角.　　　　　

三垂線定理(課本)：在平面內(nèi)的一條直線，如果和

這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

三垂線的逆定理(課本)：在平面內(nèi)的一條直線，如果和

這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.

　空間角的計(jì)算步驟　 一作、二證、三算.

異面直線所成角：范圍：；計(jì)算方法:

①平移法：一般情況下應(yīng)用平行四邊形的對(duì)邊、梯形的平行對(duì)邊、三角形的中位線進(jìn)行平移.②向量法：設(shè)、分別為異面直線、的方向向量,

則兩異面直線所成的角；③補(bǔ)體法；

④證明兩條異面直線垂直,即所成角為.

直線與平面所成的角：①定義：(課本)平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角；一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是直角.②范圍 ；③最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角.⑤斜線與平面所成角的計(jì)算：直接法：關(guān)鍵是作垂線，找射影 可利用面面垂直的性質(zhì)； 平移法：通過(guò)三角形的中位線或平行四邊形的對(duì)邊平移，計(jì)算其平行線與平面所成的角.也可平移平面通過(guò)等體積法求出斜線任一點(diǎn)到平面的距離，計(jì)算這點(diǎn)與斜足之間的線段長(zhǎng)，則.

應(yīng)用結(jié)論：如右圖所示，，為垂足，為斜足，

，與平面所成的角為，，

，則.

向量法：設(shè)是斜線的方向向量，是平面

的法向量，則斜線與平面所成的角.

二面角：①定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，

其中的每一部分叫做半平面.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面

所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，

每個(gè)半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角，叫做這個(gè)二面角的平面角.規(guī)定：二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，二面角為，當(dāng)兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，二面角為，因此，二面角的大小范圍為.②確定二面角的方法：定義法；三垂線定理及其逆定理法；垂面法；射影面積法：，此方法常用于無(wú)棱二面角大小的計(jì)算；無(wú)棱二面角也可以先根據(jù)線面性質(zhì)恢復(fù)二面角的棱，然后再用方法、計(jì)算大�。�向量法：法一、在內(nèi)，在內(nèi)，其方向如左圖，則二面角 的平面角

；其方向如右圖，

則二面角的平面角

(同等異補(bǔ))

法二、設(shè),是二面角的兩個(gè)半平面

的法向量，其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向

外側(cè)(同等異補(bǔ))，則二面角的平面角

(陜西)如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，

，，平面．，，，

求證：平面；略．