題型1：求軌跡方程

例1．(1)一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。

(2)雙曲線有動(dòng)點(diǎn)，是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的重心的軌跡方程。

解析：(1)(法一)設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、，

將圓方程分別配方得：，，

當(dāng)與相切時(shí)，有　　　　 ①

當(dāng)與相切時(shí)，有　　　　 ②

將①②兩式的兩邊分別相加，得，

即　　　　 ③

移項(xiàng)再兩邊分別平方得：

　　　　　 ④

兩邊再平方得：，

整理得，

所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓.

(法二)由解法一可得方程，

由以上方程知，動(dòng)圓圓心到點(diǎn)和的距離和是常數(shù)，所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為、，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，

∴，，∴，，

∴，

∴圓心軌跡方程為。

(2)如圖，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)各為，∴在已知雙曲線方程中，∴

∴已知雙曲線兩焦點(diǎn)為，

∵存在，∴

由三角形重心坐標(biāo)公式有，即 。

∵，∴。

已知點(diǎn)在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有

即所求重心的軌跡方程為：。

點(diǎn)評(píng)：定義法求軌跡方程的一般方法、步驟；“轉(zhuǎn)移法”求軌跡方程的方法.

例2．(2009年廣東卷文)(本小題滿分14分)

已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12.圓:的圓心為點(diǎn).

(1)求橢圓G的方程

(2)求的面積

(3)問是否存在圓包圍橢圓G?請(qǐng)說明理由.

解(1)設(shè)橢圓G的方程為：　 ()半焦距為c;

　 則 , 解得 ,

　 所求橢圓G的方程為：.　　　　　　

(2 )點(diǎn)的坐標(biāo)為

　

(3)若，由可知點(diǎn)(6，0)在圓外，

　 若，由可知點(diǎn)(-6，0)在圓外；

　 不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.

題型2：圓錐曲線中最值和范圍問題

例3．(1)(2009遼寧卷理)以知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[解析]注意到P點(diǎn)在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點(diǎn)為F’(4,0),

　 于是由雙曲線性質(zhì)|PF|－|PF’|＝2a＝4

　 而|PA|+|PF’|≥|AF’|＝5

　 兩式相加得|PF|+|PA|≥9,當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F’三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.

[答案]9

　　 (2)(2009重慶卷文、理)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍為　　　　　 ．

[解析1]因?yàn)樵?sub>中，由正弦定理得

則由已知，得，即

設(shè)點(diǎn)由焦點(diǎn)半徑公式，得則

記得由橢圓的幾何性質(zhì)知，整理得

解得，故橢圓的離心率

[解析2] 由解析1知由橢圓的定義知　　

，由橢圓的幾何性質(zhì)知所以以下同解析1.

[答案]

　　 (3)(2009四川卷理)已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是(　 )

A.2　　　　　 　　B.3　 　　　　　　C.　　　　　 D.　　　　

[考點(diǎn)定位]本小題考查拋物線的定義、點(diǎn)到直線的距離，綜合題。

[解析1]直線為拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)的距離，故本題化為在拋物線上找一個(gè)點(diǎn)使得到點(diǎn)和直線的距離之和最小，最小值為到直線的距離，即，故選擇A。

[解析2]如圖，由題意可知

[答案]A

點(diǎn)評(píng)：由△PAF成立的條件，再延伸到特殊情形P、A、F共線，從而得出這一關(guān)鍵結(jié)論.

例4．(1)(2009江蘇卷)(本題滿分10分)

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A(2，2)，其焦點(diǎn)F在軸上。

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求過點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程；

(3)設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線C于D、E兩點(diǎn)，ME=2DM，記D和E兩點(diǎn)間的距離為，求關(guān)于的表達(dá)式。

　　　

(2)(2009山東卷文)(本小題滿分14分)

設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.

(1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;　　　

(2)已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;

(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切于A₁,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁,當(dāng)R為何值時(shí),|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

解(1)因?yàn)?sub>,,,

所以,　　 即.　　　

當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;

當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓

當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓;

當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線.

(2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組得,即,

要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,

則使△=,

即,即,　　 且

,

要使,　 需使,即,

所以,　 即且,　 即恒成立.

所以又因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,

所以圓的半徑為,, 所求的圓為.

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或也滿足.

綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.

(3)當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本�與圓C:(1<R<2)相切于A₁, 由(2)知,　 即　　 ①,

因?yàn)?sub>與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁,

由(2)知得,

即有唯一解

則△=,　　 即,　　 ②

由①②得,　 此時(shí)A,B重合為B₁(x₁,y₁)點(diǎn),　　　

由 中,所以,,

B₁(x₁,y₁)點(diǎn)在橢圓上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,因?yàn)?sub>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,即

當(dāng)時(shí)|A₁B₁|取得最大值,最大值為1.

[命題立意]:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過解方程組法研究有沒有交點(diǎn)問題,有幾個(gè)交點(diǎn)的問題.

題型3：證明問題和對(duì)稱問題

例5．(1)如圖，橢圓＝1(a＞b＞0)與過點(diǎn)A(2，0)B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=.

(Ⅰ)求橢圓方程；

(Ⅱ)設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AFT。

解 (1)由題意：

　　　　 　，解得，所求橢圓方程為

(2)(2009天津卷文)(本小題滿分14分)

已知橢圓()的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，且

(Ⅰ求橢圓的離心率；

(Ⅱ)直線AB的斜率；

(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線上有一點(diǎn)H(m,n)()在的外接圓上，求的值。

解 (1)由，得,從而

，整理得，故離心率

(2)由(1)知，，所以橢圓的方程可以寫為

設(shè)直線AB的方程為即

由已知設(shè)則它們的坐標(biāo)滿足方程組　　　

消去y整理，得

依題意，

而，有題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，

所以

聯(lián)立三式，解得，將結(jié)果代入韋達(dá)定理中解得_.

(3)由(2)知，，當(dāng)時(shí)，得A由已知得

線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點(diǎn)是的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為

直線的方程為，于是點(diǎn)滿足方程組

由，解得，故

當(dāng)時(shí)，同理可得_.

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力。

(3)在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點(diǎn).

①求證：“如果直線過點(diǎn)T(3，0)，那么＝3”是真命題；

②寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

解析：

(3)證明：①設(shè)過點(diǎn)T(3,0)的直線l交拋物線y²=2x于點(diǎn)A(x₁,y₁)、B(x₁₂,y₂).

　　 當(dāng)直線l的鈄率下存在時(shí),直線l的方程為x=3,此時(shí),直線l與拋物線相交于A(3,)、B(3,－)，∴=3。

　　 當(dāng)直線l的鈄率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x－3),其中k≠0.

當(dāng)	y2=2x	得ky2－2y－6k=0,則y1y2=－6.
y=k(x－3)

　　 又∵x₁=y, x₂=y,

∴=x₁x₂+y₁y₂==3.

綜上所述, 命題“如果直線l過點(diǎn)T(3,0),那么=3”是真命題.

②逆命題是：設(shè)直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題.

例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2),B(,1),此時(shí)=3,

直線AB的方程為Y=(X+1),而T(3,0)不在直線AB上.

點(diǎn)評(píng)：由拋物線y²=2x上的點(diǎn)A(x₁,y₁)、B(x₁₂,y₂)滿足=3,可得y₁y₂=－6�；騳₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可證得直線AB過點(diǎn)(3,0)；如果y₁y₂=2, 可證得直線AB過點(diǎn)(－1,0),而不過點(diǎn)(3,0)。

例6．(1)(2009遼寧卷文、理)(本小題滿分12分)

已知，橢圓C以過點(diǎn)A(1，)，兩個(gè)焦點(diǎn)為(－1，0)(1，0)。

(1)　　　 求橢圓C的方程；

(2)　　　 E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值�！�

(Ⅰ)解 由題意，c＝1,可設(shè)橢圓方程為�！　　　　�

因?yàn)?i>A在橢圓上，所以，解得＝3，＝(舍去)。

所以橢圓方程為　 ．　　 　　　　　　　

(Ⅱ)證明 　設(shè)直線AE方程：得，代入得　　　　　

設(shè)E(，)，F(，)．因?yàn)辄c(diǎn)A(1，)在橢圓上，

所以，　　　　　

。　　　　　　　　　　　

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得

，　　　　　

。

所以直線EF的斜率。

即直線EF的斜率為定值，其值為。　　　　　　　　　　　 　

(2)(2009福建卷文)(本小題滿分14分)

已知直線經(jīng)過橢圓　　　 的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線

分別交于兩點(diǎn).

(I)求橢圓的方程；

(Ⅱ)求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；

(Ⅲ)當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由

解　 方法一(I)由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為

　 故橢圓的方程為

(Ⅱ)直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，

從而

由得0

設(shè)則得，從而　　　

即又

由得

故

又　　

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立　　

時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，當(dāng)取最小值時(shí)，

　 此時(shí)的方程為

　 要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。

設(shè)直線

則由解得或　　

題型4：知識(shí)交匯題

例7．已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為

(I) 證明線段是圓的直徑;

(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí)，求p的值.

解析：(I)證明1:

整理得:

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