例8.

    分析：

    解：（1）當k=4時，方程變?yōu)?x²=0，即x=0，表示直線；

    （2）當k=8時，方程變?yōu)?y²=0，即y=0，表示直線；

    （i）當k<4時，方程表示雙曲線；（ii）當4<k<6時，方程表示橢圓；

    （iii）當k=6時，方程表示圓；（iv）當6<k<8時，方程表示橢圓；

    （v）當k>8時，方程表示雙曲線。

例7.已知等比數(shù)列的前n項之和為，前n+1項之和為，公比q>0，令。

    分析：對于等比數(shù)列的前n項和S_n的計算，需根據(jù)q是否為1分為兩種情形：

    故還需對q再次分類討論。

    解： 

例6.

    分析：這是一個含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對二次項系數(shù)a分類：（1）a≠0（2）a=0，對于（2），不等式易解；對于（1），又需再次分類：a>0或a<0，因為這兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點之后，又會遇到1與誰大誰小的問題，因而又需作一次分類討論。故而解題時，需要作三級分類。

    解：

    綜上所述，得原不等式的解集為

；；

；；

。

例5.

    分析：解無理不等式，需要將兩邊平方后去根號，以化為有理不等式，而根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，只有在不等式兩邊同時為正時，才不改變不等號方向，因此應(yīng)根據(jù)運算需求分類討論，對x分類。

    解：

例4.

    分析：解對數(shù)不等式時，需要利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)符號的不等式。而對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性因底數(shù)a的取值不同而不同，故需對a進行分類討論。

    解：

例3.已知圓x²+y²=4，求經(jīng)過點P（2，4），且與圓相切的直線方程。

    分析：容易想到設(shè)出直線的點斜式方程y-4=k(x-2)再利用直線與圓相切的充要條件：“圓心到切線的距離等于圓的半徑”，待定斜率k，從而得到所求直線方程，但要注意到：過點P的直線中，有斜率不存在的情形，這種情形的直線是否也滿足題意呢？因此本題對過點P的直線分兩種情形：（1）斜率存在時，…（2）斜率不存在…

    解（略）：所求直線方程為3x-4y+10=0或x=2

例2．

    分析：

    因此，只要根據(jù)已知條件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA時，是一解還是兩解？這一點需經(jīng)過討論才能確定，故解本題時要分類討論。對角A進行分類。

解：

    這與三角形的內(nèi)角和為180°相矛盾。

例1.一條直線過點（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為（    ）

      A.                        B.

      C.             D.

分析：設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a,

    當a=0時，直線過原點，此時直線方程為；

    當時，設(shè)直線方程為，方程為。

    6.注意簡化或避免分類討論。

    5.含參數(shù)問題的分類討論是常見題型。