例7．點(diǎn)P(x,y)在橢圓上移動(dòng)時(shí),求函數(shù)u=x²+2xy+4y²+x+2y的最大值.

解：∵點(diǎn)P(x,y)在橢圓上移動(dòng),   ∴可設(shè)    于是

          =

          =

    令,    ∵,∴|t|≤.

    于是u=,(|t|≤).

    當(dāng)t=,即時(shí),u有最大值.

    ∴θ=2kπ+(k∈Z)時(shí),.

例6．設(shè)方程x²+2kx+4=0的兩實(shí)根為x₁,x₂,若≥3,求k的取值范圍.

解：∵≥3,

以,代入整理得(k²-2)²≥5,又∵Δ=4k²-16≥0,

∴解得k∈(-)∪[,+].

例5．如圖,已知在矩形ABCD中,C(4,4),點(diǎn)A在曲線(x>0,y>0)上移動(dòng),且AB,BC兩邊始終分別平行于x軸,y軸,求使矩形ABCD的面積為最小時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo).

分析及解：設(shè)A(x,y),如圖所示,則(4-x)(4-y)          (1)

此時(shí)S表示為變量x,y的函數(shù),如何將S表示為一個(gè)變量x(或y)的函數(shù)呢？有的同學(xué)想到由已知得x²+y²=9,如何利用此條件？是從等式中解出x(或y),再代入(1)式,因?yàn)楸磉_(dá)式有開(kāi)方,顯然此方法不好.

如果我們將(1)式繼續(xù)變形,會(huì)得到S=16-4(x+y)+xy              (2)

這時(shí)我們可聯(lián)想到x²+y²與x+y、xy間的關(guān)系,即(x+y)²=9+2xy.

因此,只需設(shè)t=x+y,則xy=,代入(2)式得    S=16-4t+(3)S表示為變量t的二次函數(shù),

∵0<x<3,0<y<3,∴3<t<,∴當(dāng)t=4時(shí),S_ABCD的最小值為.

此時(shí)

注：換元前后新舊變量的取值范圍是不同的,這樣才能防止出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤.

例4．設(shè)f(x)是一次函數(shù),且其在定義域內(nèi)是增函數(shù),又,試求f(x)的表達(dá)式.

分析及解：因?yàn)榇撕瘮?shù)的模式已知,故此題需用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式.

設(shè)一次函數(shù)y=f(x)=ax+b  (a>0),可知  ,

∴.

比較系數(shù)可知：   

解此方程組,得  ,b=2,∴所求f(x)=.

例3．設(shè)雙曲線的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),準(zhǔn)線平行于x軸,離心率為,已知點(diǎn)P(0,5)到該雙曲線上的點(diǎn)的最近距離是2,求雙曲線方程.

分析及解：由題意可設(shè)雙曲線方程為,∵,∴a=2b,因此所求雙曲線方程可寫(xiě)成：  (1),故只需求出a可求解.

設(shè)雙曲線上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),則|PQ|=  (2),∵點(diǎn)Q(x,y)在雙曲線上,∴(x,y)滿足(1)式,代入(2)得|PQ|=  (3),此時(shí)|PQ|²表示為變量y的二次函數(shù),利用配方法求出其最小值即可求解.

由(3)式有(y≥a或y≤-a).

二次曲線的對(duì)稱軸為y=4,而函數(shù)的定義域y≥a或y≤-a,因此,需對(duì)a≤4與a>4分類(lèi)討論.

(1)當(dāng)a≤4時(shí),如圖(1)可知函數(shù)在y=4處取得最小值,

∴令,得a²=4

∴所求雙曲線方程為.

(2)當(dāng)a>4時(shí),如圖(2)可知函數(shù)在y=a處取得最小值,

∴令,得a²=49,

∴所求雙曲線方程為.

注：此題是利用待定系數(shù)法求解雙曲線方程的,其中利用配方法求解二次函數(shù)的最值問(wèn)題,由于二次函數(shù)的定義域與參數(shù)a有關(guān),因此需對(duì)字母a的取值分類(lèi)討論,從而得到兩個(gè)解,同學(xué)們?cè)诮獯饠?shù)習(xí)題時(shí)應(yīng)學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題.

例2．設(shè)F₁和F₂為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠F₁PF₂=90°,則ΔF₁PF₂的面積是(    ).               

(A)1      (B)    (C)2      (D)

分析及解：欲求     (1),而由已知能得到什么呢？

由∠F₁PF₂=90°,得       (2),

又根據(jù)雙曲線的定義得|PF₁|-|PF₂|=4     (3),那么(2)、(3)兩式與要求的三角形面積有何聯(lián)系呢？我們發(fā)現(xiàn)將(3)式完全平方,即可找到三個(gè)式子之間的關(guān)系.即,

故∴  ,∴  選(A).

注：配方法實(shí)現(xiàn)了“平方和”與“和的平方”的相互轉(zhuǎn)化.

 2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的對(duì)角線長(zhǎng)為,因此需將對(duì)稱式寫(xiě)成基本對(duì)稱式x+y+z及xy+yz+zx的組合形式,完成這種組合的常用手段是配方法.故=6²-11=25

∴  ,應(yīng)選C.

例1．已知長(zhǎng)方體的全面積為11,其12條棱的長(zhǎng)度之和為24,則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為(    ).

(A)      (B)       (C)5      (D)6

分析及解：設(shè)長(zhǎng)方體三條棱長(zhǎng)分別為x,y,z,則依條件得：

2．為了實(shí)施有效的化歸，既可以變更問(wèn)題的條件，也可以變更問(wèn)題的結(jié)論，既可以變換問(wèn)題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，又可以變換問(wèn)題的外部形式，既可以從代數(shù)的角度去認(rèn)識(shí)問(wèn)題，又可以從幾何的角度去解決問(wèn)題。

1．熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想、機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類(lèi)比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺(jué)的化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí)需要對(duì)定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對(duì)典型習(xí)題的總結(jié)和提煉，要積極主動(dòng)有意識(shí)地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系�！白セ�礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙。