Question

6．如圖，直線l與x軸相交于點A（-2，0），與y軸相交于點B，∠BAO=60°．
（1）求直線l的解析式；
（2）以點O為圓心，半徑為2作圓，判斷⊙O與直線l的位置關系；
（3）直接寫出△ABO的外接圓圓心O′的坐標．（不必寫出過程）

Answer 1

分析 （1）由已知得出OA=2，在Tt△AOB中，由三角函數(shù)求出OB=OA•tan60°=2$\sqrt{3}$，得出B（0，2$\sqrt{3}$）；設直線l的解析式為y=kx+b，把A（-2，0），B（0，2$\sqrt{3}$）代入得出方程組，解方程組即可；
（2）作OD⊥AB于D，求出∠ABO=30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AB=2OA=4，由△AOB的面積=$\frac{1}{2}$AB•OD=$\frac{1}{3}$OA•OB，求出OD=$\sqrt{3}$，得出d＜r即可；
（3）由Rt△ABO的外接圓圓心O′為AB的中點，即可得出圓心O′的坐標．

解答 解：（1）∵A（-2，0），
∴OA=2，
在Tt△AOB中，∵∠BAO=60°，
∴OB=OA•tan60°=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴B（0，2$\sqrt{3}$）；
設直線l的解析式為y=kx+b，
把A（-2，0），B（0，2$\sqrt{3}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：k=$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$，
∴直線l的解析式為y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$；
（2）作OD⊥AB于D，如圖所示：
∵∠AOB=90°，∠BAO=60°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，
∵△AOB的面積=$\frac{1}{2}$AB•OD=$\frac{1}{3}$OA•OB，
∴OD=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{2×2\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$，
∵⊙O的半徑r=2＞$\sqrt{3}$，即d＜r，
∴⊙O與直線l相交；
（3）∵△ABO是直角三角形，OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴△ABO的外接圓圓心O′為AB的中點，
∴△ABO的外接圓圓心O′的坐標為（-1，$\sqrt{3}$）．

點評 本題是圓的綜合題目，考查了待定系數(shù)法求直線的解析式、三角函數(shù)、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的外接圓等知識；本題綜合性強，難度適中，由三角形的面積求出OD是解決問題（2）的關鍵．