Question

3．如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，點D在AB上，且AC=AD，OC=2，∠CAB=30°．
（1）求線段OD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號和π）．

Answer 1

分析 （1）過C作CE⊥AD于E，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠COD=60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE=$\sqrt{3}$，求得AC=2$\sqrt{3}$根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)扇形的面積和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）過C作CE⊥AD于E，
∵∠A=30°，
∴∠COD=60°，
∵OC=2，
∴CE=$\sqrt{3}$，
∵∠A=30°，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∵AD=AC=2$\sqrt{3}$，OA=OC=2，
∴OD=AD-OA=2$\sqrt{3}$-2；

（2）S_陰影=S_扇形BOC-S_△OCD=$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$-2）×$\sqrt{3}$=$\frac{2π}{3}$-3+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了扇形的面積，圓周角定理，解直角三角形，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．