Question

如圖，點M，N是第一象限內的兩點，坐標分別為M（2，3），N（4，0）
（1）若點P是y軸上的一個動點，當△PMN周長最小時，求點P的坐標．
（2）若P，Q是y軸上的兩點（點P在Q的下方），且PQ=1，當四邊形PQMN周長最小時，點P的坐標．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,坐標與圖形性質

專題：

分析：（1）根據軸對稱，作出點M關于y軸的對稱點M′，連接M′N交y軸于點P，此時△PMN周長最小，求得M′的坐標，然后利用待定系數法求得直線M′N的解析式，即可求得P的坐標；
（2）根據軸對稱，作出點M關于y軸的對稱點A，作AB∥y軸且AB=1，連接BN交y軸于點P，過A作AQ∥BP交y軸于Q，此時四邊形PQMN周長最小，求得B點的坐標，然后利用待定系數法求得直線BN的解析式，即可求得P的坐標；

解答：解：（1）如圖1所示：作出點M關于y軸的對稱點M′，連接M′N交y軸于點P，此時M′N就是PM+PN的最小值，由于MN是定值，所以此時△PMN周長最小，
由題意可得出：M′（-2，3），
∵N（4，0），
設直線M′N的解析式為y=kx+b，
∴

-2k+b=3 4k+b=0

，解得

k=- 1 2 b=2

，
∴直線M′N的解析式為y=-

1

2

x+2，
令x=0，則y=2，
∴P的坐標為（0，2）；
（2）如圖2所示：作出點M關于y軸的對稱點A，作AB∥y軸且AB=1，連接BN交y軸于點P，過A作AQ∥BP交y軸于Q，此時BN就是QM+PN的最小值，由于MN、PQ是定值，所以此時四邊形PQMN周長最小，
由題意可得出：A（-2，3），
∵AB=PQ=1，
∴B（-2，2）
∵N（4，0），
設直線BN的解析式為y=mx+n，
∴

-2m+n=2 4m+n=0

，解得

m=- 1 3 n= 4 3

，
∴直線BN的解析式為y=-

1

3

x+

4

3

，
令x=0，則y=

4

3

，
∴P的坐標為（0，

4

3

）．

點評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路線，待定系數法求解析式以及一次函數圖象上點的特征等知識，得出P點位置是解題關鍵．