Question

6．我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．
凸四邊形就是沒有角度大于180°的四邊形，把四邊形的任何一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形．
（1）已知：若四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A=70°，∠B=80°．求∠C、∠D的度數(shù)．
（2）如圖1，在Rt△ACB中，∠C=90°，CD為斜邊AB邊上的中線，過點D作DE⊥CD交AC于點E，請說明：四邊形BCED是“等對角四邊形”．
（3）如圖2，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD平分∠ACB，點E在直線AC上，以點B、C、E、D為頂點構(gòu)成的四邊形為“等對角四邊形”，求線段AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“等對角四邊形”的定義，當(dāng)四邊形ABCD是“等對角四邊形”時，可分兩種情況進(jìn)行討論：①若∠A=∠C，∠B≠∠D，則∠C=70°，再利用四邊形內(nèi)角和定理求出∠D；②若∠B=∠D，∠A≠∠C，則∠D=80°，再利用四邊形內(nèi)角和定理求出∠C；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AD=DB=DC，由等邊對等角得出∠DCB=∠B，再由∠B+∠ACD=∠DCB+∠ACD=90°，∠CED+∠ACD=90°，利用同角的余角相等得出∠CED=∠B，又∠ECB≠∠EDB，根據(jù)“等對角四邊形”的定義，即可證明四邊形BCED是“等對角四邊形”；
（3）根據(jù)“等對角四邊形”的定義，當(dāng)四邊形CBDE為“等對角四邊形”時，可分兩種情況進(jìn)行討論：①若∠B=∠DEC，∠BCE≠∠BDE，根據(jù)AAS證明△CDE≌△CDB，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得出EC=BC=3，那么AE=AC-EC=1；②若∠BCE=∠BDE=90°，∠B≠∠DEC，先利用勾股定理求出AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，再根據(jù)角平分線定理得出$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，求出AD=$\frac{4}{7}$AB=$\frac{20}{7}$，再證明△ADE∽△ACB，③如圖4，點E在AC的延長線上，∠CDB=∠E，∠DCE≠∠DBE，
連接BE，過C作CH⊥AB于H，DF⊥AC于F，推出△DFC是等腰直角三角形，得到DF=CF，通過△ADF∽△ABC，得到$\frac{AF}{AC}=\frac{DF}{BC}$，求得DF=$\frac{12}{7}$，再根據(jù)三角形相似得到$\frac{CE}{DH}$=$\frac{BC}{CH}$，得到CE=$\frac{3}{7}$，④點E在AC的延長線上，如圖5，∠CDB≠∠E，∠DCE=∠DBE，連接BE，過E作EH⊥AB交AB的延長線于H，推出△BHE是等腰直角三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AC}{AH}$=$\frac{BC}{EH}$，得到BH=15，根據(jù)勾股定理得到CE=$\sqrt{B{E}^{2}-B{C}^{2}}$=21，即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：①當(dāng)∠A≠∠C時，∵四邊形ABCD是“等對角四邊形”，
∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°-∠A-∠B-∠D=360°-70°-80°-80°=130°，
②當(dāng)∠A=∠C=70°時，∠D=360°-∠A-∠B-∠C=360°-70°-80°-70°=140°，
綜上：∠C=70°，∠D=140°，或∠C=130°，∠D=80°；

（2）證明：如圖1，在Rt△ABC中，
∵CD為斜邊AB邊上的中線，
∴AD=DB=DC，
∴∠DCB=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠B+∠ACD=90°．
∵DE⊥CD，
∴∠CED+∠ACD=90°，
∴∠CED=∠B，
且∠ECB≠∠EDB，
∴四邊形BCED是“等對角四邊形”；

（3）解：①若∠B=∠DEC，∠BCE≠∠BDE，如圖2，
在△CDE與△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠B}\\{∠DCE=∠DCB}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CDB，
∴EC=BC=3，
∴AE=AC-EC=4-3=1；
②若∠BCE=∠BDE=90°，∠B≠∠DEC，如圖3，
∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵CD平分∠ACB，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴AD=$\frac{4}{7}$AB=$\frac{20}{7}$，
在△ADE與△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠A}\\{∠ADE=∠ACB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{AE}{5}$=$\frac{\frac{20}{7}}{4}$，
∴AE=$\frac{25}{7}$，
③如圖4，點E在AC的延長線上，∠CDB=∠E，∠DCE≠∠DBE，
連接BE，過C作CH⊥AB于H，DF⊥AC于F，
∴DF∥BC，
∵CD平分∠ACB，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∴DF=CF，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{DF}{BC}$，即$\frac{4-DF}{4}=\frac{DF}{3}$，
∴DF=$\frac{12}{7}$，
∴CD=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
∵CH=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴DH=$\sqrt{C{D}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{12}{35}$，
∵∠CHD=∠BCE=90°，∠CDH=∠E，
∴△CDH∽△BCE，
∴$\frac{CE}{DH}$=$\frac{BC}{CH}$，
∴CE=$\frac{3}{7}$，
∴AE=AC+CE=$\frac{31}{7}$，
④點E在AC的延長線上，如圖5，∠CDB≠∠E，∠DCE=∠DBE，
連接BE，過E作EH⊥AB交AB的延長線于H，
∵CD平分∠ABC，
∴∠DCE=∠DBE=135°，
∴∠EBH=45°，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴BH=HE，
∵∠A=∠A，∠ACB=∠H=90°，
∴△ABC∽△AEH，
∴$\frac{AC}{AH}$=$\frac{BC}{EH}$，即$\frac{4}{5+BH}$=$\frac{3}{BH}$，
∴BH=15，
∴BE=15$\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{B{E}^{2}-B{C}^{2}}$=21，
∴AE=AC+CE=25；
綜上述，線段AE的長為1或$\frac{25}{7}$或$\frac{31}{7}$或25．

點評 本題是四邊形綜合題，主要考查了四邊形內(nèi)角和定理，直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)，勾股定理，理解“等對角四邊形”的定義并且利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．