Question

1．如圖所示，在矩形ABCD中，點E是邊BC延長線上一點，連結(jié)AE，交DC于點F，作BH⊥AE于點G，交DC于點H，作FM∥BC交BH于點M，連結(jié)AM．且FH=FE．AD=2$\sqrt{7}$．AG=6．
（1）求：AF的長；
（2）求：四邊形AGHD的面積；
（3）求證：∠BAM=45°-$\frac{1}{2}$∠HBA．

Answer 1

分析 （1）由條件可證得△HFG≌△EFC，可得GH=CE，CF=GF，進一步可證得BH=BE，則有BG=BC，在Rt△ABG中可求得AB，又可證明△ADF≌△BGA，則AF=AB，可求得AF的長；
（2）利用（1）中的結(jié)論可求得DF，CF，又△CEF∽△DAF，可求得CE的長，可求得可△ABE的面積，則S_{四邊形AGHD}=S_矩形ABCD-S_{四邊形ABCF}-S_△GHF，利用全等S_△GHF=S_△CEF，則可求得四邊形AGHD的面積；
（3）延長FM交AB于點N，由（2）中求得DF的長，則可求得AN的長，可求得AN=AG，可證明△AGM≌△ANM，可得∠BAG=2∠BAM，在Rt△ABG中，由直角三角形的性質(zhì)可得∠BAG=90°-∠HBA，可證得結(jié)論．

解答 （1）解：
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD，AD=BC=2$\sqrt{7}$，∠D=∠FCE=90°
∵BH⊥AE，
∴∠HGF=∠AGB=90°
在△HFG和△EFC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠HGF=∠ECF}\\{∠HFG=∠EFC}\\{HF=EF}\end{array}\right.$
∴△HFG≌△EFC（AAS），
∴GF=CF，
∴HF+CF=GF+EF即CH=GE，
在△BCH和△BGE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBC=∠GBE}\\{∠BCH=∠BGE}\\{CH=GE}\end{array}\right.$
∴△BCH≌△BGE（AAS），
∴BG=BC=AD=2$\sqrt{7}$，
在R△ABG中，AG=6，則由勾股定理可得AB=$\sqrt{A{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{7}）^{2}}$=8，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠AFD，
在△ABG和△FDA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGB=∠ADF}\\{∠BAG=∠DFA}\\{BG=AD}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△FDA（AAS），
∴AF=AB=8；
（2）解：
由（1）可知△ABG≌△FDA，
∴DF=AG=6，
∴CF=CD-DF=AB-DF=8-6=2，
∵BE∥AD，
∴△CEF∽△DAF，
∴$\frac{CE}{AD}$=$\frac{CF}{DF}$，即$\frac{CE}{2\sqrt{7}}$=$\frac{2}{6}$，
∴CE=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，則BE=BC+CE=AD+CE=2$\sqrt{7}$+$\frac{2\sqrt{7}}{3}$=$\frac{8\sqrt{7}}{3}$，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=$\frac{1}{2}$×8×$\frac{8\sqrt{7}}{3}$=$\frac{32\sqrt{7}}{3}$，
∵△HGF≌△CEF，
∴S_△GHF=S_△CEF，且S_矩形ABCD=AB•BC=8×2$\sqrt{7}$=16$\sqrt{7}$，
∴S_{四邊形AGHD}=S_矩形ABCD-S_{四邊形ABCF}-S_△GHF=S_矩形ABCD-（S_{四邊形ABCF}+S_△GHF）=S_矩形ABCD-S_△ABE=16$\sqrt{7}$-$\frac{32\sqrt{7}}{3}$=$\frac{16\sqrt{7}}{3}$；
（3）證明：
如圖，延長FM交AB于點N，

∵MF∥BC，
∴四邊形BCFN為矩形，
∴NB=FC=2，則AN=8-2=6=AG，
在△AMN和△AMG中
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AG}\\{∠ANM=∠AGM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$
∴△AMG≌△AMG（SAS），
∴∠BAM=∠GAM，
∴∠BAG=2∠BAM，
在Rt△ABG中，∠BAG=90°-∠HBA，
∴2∠BAM=90°-∠HBA，
∴∠BAM=45°-$\frac{1}{2}$∠HBA．

點評 本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及知識點有矩形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等．在（1）中求得AF=AB是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意面積的和差關(guān)系，在（3）中證得∠BAG=2∠BAM是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性很強，難度很大．