Question

9．我們把有一組鄰邊相等，一組對(duì)邊平行但不相等的四邊形稱作“準(zhǔn)菱形”．
（1）證明“準(zhǔn)菱形”性質(zhì)：“準(zhǔn)菱形”的一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角．
（要求：根據(jù)圖1寫(xiě)出已知，求證，證明）
已知：如圖，“準(zhǔn)菱形”ABCD中，AB=AD，AD∥BC，（AD≠BC）
求證：BD平分∠ABC．
證明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠BDA，
又∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠BDA．
∴∠ABD=∠DBC．
即BD平分∠ABC
（2）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4．若點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且四邊形ABDE為“準(zhǔn)菱形”．請(qǐng)?jiān)谙铝薪o出的△ABC中（圖2），作出滿足條件的所有“準(zhǔn)菱形”ABDE，并寫(xiě)出相應(yīng)DE的長(zhǎng)．（所給△ABC不一定都用，不夠可添）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)準(zhǔn)菱形的定義寫(xiě)出已知，結(jié)合圖形寫(xiě)出求證，利用平行線的性質(zhì)定理進(jìn)行證明；
（2）分AE=AB，DE∥AB、BA=BD，DE∥AB、EA=ED，DE∥AB、DE=BD，DE∥AB四種情況，利用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）已知：如圖，“準(zhǔn)菱形”ABCD中，AB=AD，AD∥BC，（AD≠BC）．
求證：BD平分∠ABC．
證明：
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠BDA，
又∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠BDA．
∴∠ABD=∠DBC．
即BD平分∠ABC；
故答案為：如圖，“準(zhǔn)菱形”ABCD中，AB=AD，AD∥BC，（AD≠BC）；BD平分∠ABC；∵AB=AD，∴∠ABD=∠BDA，又∵AD∥BC，∴∠DBC=∠BDA．∴∠ABD=∠DBC．即BD平分∠ABC；
（2）可以作出如下四種圖形，
∵∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=5，
如圖2，當(dāng)AE=AB，DE∥AB時(shí)，
$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CE}{CA}$，即$\frac{DE}{3}$=$\frac{1}{4}$，
解得，DE=$\frac{3}{4}$；
如圖3，當(dāng)BA=BD，DE∥AB時(shí)，
$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，即$\frac{DE}{3}$=$\frac{2}{5}$，
解得，DE=$\frac{6}{5}$；
如圖4，當(dāng)EA=ED，DE∥AB時(shí)，
$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CE}{CA}$，即$\frac{DE}{3}$=$\frac{4-DE}{4}$，
解得，DE=$\frac{12}{7}$；
如圖5，當(dāng)DE=BD，DE∥AB時(shí)，
$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，即$\frac{DE}{3}$=$\frac{5-DE}{5}$，
解得，DE=$\frac{15}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是新定義、相似三角形的判定和性質(zhì)，正確理解準(zhǔn)菱形的定義、靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，在解答時(shí)注意分情況討論思想是靈活運(yùn)用．