Question

20．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．

（1）如圖1，若A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，4），B（-2，0），求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，作∠ABC的角平分線(xiàn)BD，交AC于點(diǎn)D，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥BD于點(diǎn)E，求證：CE=$\frac{1}{2}$BD；
（3）如圖3，點(diǎn)P是射線(xiàn)BA上A點(diǎn)右邊一動(dòng)點(diǎn)，以CP為斜邊作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，點(diǎn)Q為∠FPC與∠PFC的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q是否恒在射線(xiàn)BD上？若在，請(qǐng)證明；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）要求點(diǎn)C坐標(biāo)，作CM⊥AO，只要利用全等三角形的性質(zhì)求出OM、CM即可；
（2）延長(zhǎng)CE、BA相交于點(diǎn)F．可以證明Rt△ABD≌Rt△ACF，再證明△BCE≌△BFE得到CE=EF，就可以得出結(jié)論；
（3）點(diǎn)Q是否恒在射線(xiàn)BD上，只要證明QM=QN，只要證明△M，HQ≌△NGQ即可．

解答 解：（1）如圖1中，作CM⊥OA垂足為M，
∵∠AOB=∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAM，
在△ABO和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠CAM}\\{∠AOB=∠AMC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAM，
∴MC=AO=4，AM=BO=2，MO=AO-AM=2，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（4，2）；

（2）如圖2，延長(zhǎng)CE、BA相交于點(diǎn)F，
∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠EBF=∠ACF，
在△ABD和△ACF中$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠ACF}\\{AB=AC}\\{∠BAC=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF，
在△BCE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠CEB=∠FEB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE=EF，
∴CE=$\frac{1}{2}$BD；

（3）結(jié)論：點(diǎn)Q恒在射線(xiàn)BD上，
理由如下：
如圖3中作QE⊥PF，QG⊥FC，QH⊥PC，QM⊥BP，QN⊥BC，垂足分別為E、G、H、M、N．
在四邊形QMBN中，∵∠QMB=∠QNB=90°，
∴∠MQN=180°-∠ABC=135°，
同理可證：∠HQG=135°，
∴∠MQN=∠HQG，
∴∠MQH=∠GQN，
∵PQ平分∠FPC，QF平分∠PFC，QE⊥PF，QH⊥PC，QG⊥FC，
∴QE=QH=QG，∠QPH=$\frac{1}{2}$∠CPF=22.5°，
∵∠PMQ=∠PHQ=90°，
∴M、H、Q、P四點(diǎn)共圓，
∴∠HMP=∠HPQ=22.5°，同理∠QNG=22.5°，
∴∠FMQ=∠QNG，
在△MHQ和△NGQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HMQ=∠QNG}\\{∠MQH=∠NQG}\\{QF=QG}\end{array}\right.$，
∴△MHQ≌△NGQ，
∴QM=QN，
∵QM⊥BP，QN⊥BC，
∴BQ平分∠ABC，
∴點(diǎn)Q恒在射線(xiàn)BD上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定或性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，過(guò)點(diǎn)Q向兩邊作垂線(xiàn)是證明角平分線(xiàn)的常用手段．