Question

20．如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長4和6，點P是對角線AC上的一個動點，點M，N分別是邊AB，BC的中點，則PM+PN的最小值是$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 要求PM+PN的最小值，PM、PN不能直接求，可作M關(guān)于AC的對稱點E，再連接EN，利用菱形的性質(zhì)計算出EN的長，EN就是PM+PN的最小值．

解答 解：如圖：作ME⊥AC交AD于E，連接EN、BD，則EN就是PM+PN的最小值，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=DC，AC⊥BD，AO=$\frac{1}{2}$AC=3，BO=$\frac{1}{2}$BD=3，
∵M、N分別是AB、BC的中點，
∴BN=BM=AM，
∵ME⊥AC交AD于E，
∴AE=AM，
∴AE=BN，AE∥BN，
∴四邊形ABNE是平行四邊形，
∴EN=AB，EN∥AB，
而由題意可知，可得AB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴EN=AB=$\sqrt{13}$，
∴PM+PN的最小值為$\sqrt{13}$．
故答案為：$\sqrt{13}$．

點評 此題主要考查菱形的性質(zhì)和軸對稱及平行四邊形的判定等知識的綜合應(yīng)用．關(guān)鍵是掌握菱形是軸對稱圖形，菱形對角線互相垂直且平分．