Question

15．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，P，Q分別從B，A出發(fā)沿BC，AD方向運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/秒，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是2cm/秒，連接A，P并過(guò)Q作QE⊥AP垂足為E．
（1）求證：△ABP∽△QEA；
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，△ABP≌△QEA；
（3）設(shè)△QEA的面積為y，用運(yùn)動(dòng)時(shí)刻t表示△QEA的面積y（不要求考t的取值范圍）．（提示：解答（2）（3）時(shí)可不分先后）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，利用勾股定理解答即可；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出函數(shù)解析式即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形；
∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°，
∵QE⊥AP，
∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°，
∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ，
∴△ABP∽△QEA；

（2）∵△ABP≌△QEA；
∴AP=AQ（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；
在Rt△ABP與Rt△QEA中根據(jù)勾股定理得AP²=3²+t²，AQ²=（2t）²
即3²+t²=（2t）²
解得t₁=$\sqrt{3}$，t₂=-$\sqrt{3}$（不符合題意，舍去）
答：當(dāng)t取$\sqrt{3}$時(shí)△ABP與△QEA全等．

（3）由（1）知△ABP∽△QEA；
∴$\frac{y}{{S}_{△ABP}}$=（$\frac{AQ}{AP}$）²
∴$\frac{y}{\frac{1}{2}×3t}$=（$\frac{2t}{\sqrt{{3}^{2}{+t}^{2}}}$）²
整理得：y=$\frac{6{t}^{3}}{9+{t}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是相似三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理是解題的關(guān)鍵．