Question

14．如圖，在矩形ABCD中，AB=16，AD=12，E是AB上一點(diǎn)，連接CE，現(xiàn)將∠B向右上方翻折，折痕為CE，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，BE=12；當(dāng)點(diǎn)P在矩形內(nèi)部時(shí)，BE的取值范圍是0＜BE＜12．
（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：PD∥AC；
（3）是否存在這樣的情況，∠B向右上方翻折后，△APD為等腰三角形？如果不存在，請說明理由，如果存在，求此時(shí)BE的長．

Answer 1

分析 解：（1）由折疊的性質(zhì)得到推出△BCE是等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠PAC=∠DCA，設(shè)AP與CD相交于O，于是得到OA=OC，求得∠OAC=∠OPD，根據(jù)平行線的判定定理得到結(jié)論；
（3）①如圖3，PA=PD，過P作MN∥AB交AD于M，交BC于N根據(jù)矩形的性質(zhì)得到PM⊥AD，PN⊥BC，AM=MD=NC=6解直角三角形得到PN=6$\sqrt{3}$，過P作PF⊥AB于F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BF=NP=6$\sqrt{3}$于是得到結(jié)論；②如圖4，過P作FM∥AD交AB于F，交CD于M，由勾股定理得到PM=$\sqrt{1{2}^{2}-{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，得到PF=12-4$\sqrt{5}$；根據(jù)勾股定理得到方程求得BE=18-6$\sqrt{5}$，；③如圖5，連接AC，過P作PN⊥AC交AC于M．交AB于N，過E作EF⊥PN于F根據(jù)勾股定理得到AC=$\sqrt{1{6}^{2}+1{2}^{2}}$=20根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AN=$\frac{25}{2}$，得到BN=AB-AN=16-$\frac{25}{2}$=$\frac{7}{2}$，設(shè)BE=EP=x，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，如圖1，
∵將∠B向右上方翻折，折痕為CE，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，
∴∠BCE=∠ECP=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=BC=AD=12，
當(dāng)點(diǎn)P在矩形內(nèi)部時(shí)，BE的取值范圍是0＜BE＜12；
故答案為：12，0＜BE＜12；

（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，
在△ADC與△CPA中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=CD}\\{∠ADC=∠APC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CPA，
∴∠PAC=∠DCA，
設(shè)AP與CD相交于O，則OA=OC，
∴OD=OP，∠ODP=∠OPD，
∵∠AOC=∠DOP，
∴∠OAC=∠OPD，
∴PD∥AC，

（3）存在，①如圖3，PA=PD，
過P作MN∥AB交AD于M，交BC于N，
∵四邊形ABCD是矩形，AB=16，AD=12，
∴PM⊥AD，PN⊥BC，AM=MD=NC=6，
∵PC=BC=12，∠B=∠EPC=90°，
∴∠NPC=30°，∠EPN=60°，
∴PN=6$\sqrt{3}$，
過P作PF⊥AB于F，
則∠FPE=30°，PF=6，BF=NP=6$\sqrt{3}$，
∴EF=2$\sqrt{3}$，
∴BE=BF-EF=4$\sqrt{3}$；
②如圖4，過P作FM∥AD交AB于F，交CD于M，
∴PF⊥AB，PM⊥CD，
∵AD=PD=PC=12，CD=16，
∴DM=CM=BF=8，
∴PM=$\sqrt{1{2}^{2}-{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴PF=12-4$\sqrt{5}$；設(shè)BE=EP=x，
則（8-x）²+（12-4$\sqrt{5}$）²=x²，
∴x=18-6$\sqrt{5}$，即BE=18-6$\sqrt{5}$；
③如圖5，AP=AD，連接AC，過P作PN⊥AC交AC于M．交AB于N，過E作EF⊥PN于F，
∵AB=16，BC=AP=AD=12，
∴AC=$\sqrt{1{6}^{2}+1{2}^{2}}$=20，
∴AM=MC=10，∠PCM+∠CPM=90°，
由∠EPC=90°得∠EPF+∠CPM=90°，
∴∠EPF=∠PCM，sin∠EPF=sin∠PCM=$\frac{\sqrt{1{2}^{2}-1{0}^{2}}}{12}$=$\frac{\sqrt{11}}{6}$，
∵M(jìn)N⊥AC，
∴△ANM∽△ACB
，∴$\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$，
∴AN=$\frac{25}{2}$，
∴BN=AB-AN=16-$\frac{25}{2}$=$\frac{7}{2}$，
設(shè)BE=EP=x，則EN=x-$\frac{7}{2}$，EF=EP•sin∠EPF=$\frac{\sqrt{11}x}{6}$，
∵EF⊥PF，AM⊥PF，
∴∠NEF=∠BAC，
∴cos∠NEF=$\frac{EF}{EN}$=cos∠BAC=$\frac{AB}{AC}$，
即$\frac{\frac{\sqrt{11}x}{6}}{x-\frac{7}{2}}$=$\frac{16}{20}$，
∴x=$\frac{2016+420\sqrt{11}}{301}$，
∴BE=$\frac{2016+420\sqrt{11}}{301}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．