Question

如圖，已知拋物線y=-x²+4x+m與x軸交于A，B兩點(diǎn)，AB=2，與y軸交于C．
（1）求拋物線解析式；
（2）求P為對稱軸上一點(diǎn)，要使PA+PC最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,軸對稱-最短路線問題

專題：計(jì)算題

分析：（1）先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的對稱軸為直線x=2，則可利用拋物線的對稱性確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），于是可利用交點(diǎn)式寫出拋物線解析式；
（2）連結(jié)BC，交直線x=2于點(diǎn)P，則PA=PB，PA+PC=PB+PC=BC，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定此時(shí)PA+PC最小，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后求出自變量為2時(shí)的函數(shù)值即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）拋物線的對稱軸為直線x=-

4

2×(-1)

=2，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B是拋物線的對稱點(diǎn)，
而AB=2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∴拋物線解析式為y=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3；
（2）連結(jié)BC，交直線x=2于點(diǎn)P，則PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC=BC，
∴此時(shí)PA+PC最小，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把C（0，-3），B（3，0）代入得

b=-3 3k+b=0

，解得

k=1 b=-3

，
∴直線BC的解析式為y=x-3，
當(dāng)x=2時(shí)，y=x-3=2-3=-1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．