Question

3．如圖1，等腰直角△ABC和等腰直角△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，點F在邊BC上，點M為AF的中點，連EM．
（1）①在圖1中畫出△BEF關(guān)于直線BE成軸對稱的三角形；
②求證：CF=2ME；
（2）將圖1中的△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，其他條件不變，（1）中的結(jié)論②是否仍成立？請證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，過B作BS⊥ME于S，若ES=2，BS=4，CF=10，則S_{四邊形CFEB}為40（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）①延長EF交AB于D，如圖1，則可判斷△BED和△BEF為全等的等腰直角三角形，所以△BED為所作；
②先證明ME為△FAD的中位線得到AD=2ME，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)和等量代換得到AD=CF，于是有CF=2ME；
（2）延長FE到點G，使EG=EF，如圖2，連結(jié)AG、BG，先證明ME為△FAG的中位線得到AG=2ME，然后證明△ABG≌△CBF得到AG=CF，所以CF=2ME；
（4）延長FE到點G，使EG=EF，如圖3，連結(jié)AG、BG，作FH⊥ME于H，交AG于L，延長BS交AG于K，利用△ABG≌△CBF得到AG=CF=10，S_△ABG=S_△CBF，再證明△FEH≌△EBS得到FH=ES=2，接著利用ME為△FAG的中位線得到FH=HL=2，ME∥AG，于是判斷四邊形HLKS為矩形得到SK=HL=2，則BK=6，則可計算出S_△ABG，從而得到S_△CBF的值，然后利用勾股定理計算出EF，則可計算出S_△BEF，最后利用S_{四邊形CFEB}=S_△BCF+S_△BEF進行計算即可．

解答 （1）解：①延長EF交AB于D，如圖1，
∵等腰直角△ABC和等腰直角△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，
∴∠1=∠BFE=45°，
∴∠2=∠BDE=45°，
∴EF=ED=BE，
即BE垂直平分DF，
∴△BED與△BEF關(guān)于直線BE對稱，
即△BED為所作；
②證明∵M點為AF的中點，
而EF=ED，
∴ME為△FAD的中位線，
∴AD=2ME，
∵BD=BF，BA=BC，
∴AD=CF，
∴CF=2ME；
（2）解：（1）中的結(jié)論②仍成立．理由如下：
延長FE到點G，使EG=EF，如圖2，連結(jié)AG、BG，
∵M點為AF的中點，
而EF=EG，
∴ME為△FAG的中位線，
∴AG=2ME，
∵△BEF為等腰直角三角形，
∴∠BEF=90°，BE=EF，
而EF=EG，
∴△BEG為等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠EBG=45°，
∴△FBG為等腰直角三角形，
∴BF=BG，∠FBG=90°，
∵∠ABG+∠ABF=90°，∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠ABG=∠CBF，
在△ABG和△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABG=∠CBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBF，
∴AG=CF，
∴CF=2ME；
（4）延長FE到點G，使EG=EF，如圖3，連結(jié)AG、BG，作FH⊥ME于H，交AG于L，延長BS交AG于K，
由（3）得△ABG≌△CBF，
∴AG=CF=10，S_△ABG=S_△CBF，
∵∠FEH+∠BES=90°，∠EBS+∠BES=90°，
∴∠FEH=∠EBS，
在△FEH和△EBS中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FHE=∠BSE}\\{∠FEH=∠EBS}\\{FE=EB}\end{array}\right.$，
∴△FEH≌△EBS，
∴FH=ES=2，
∵ME為△FAG的中位線，
∴FH=HL=2，ME∥AG，
易得四邊形HLKS為矩形，
∴SK=HL=2，
∴BK=BS+SK=4+2=6，
∴S_△ABG=$\frac{1}{2}$•10•6=30，
∴S_△CBF=30，
在Rt△BES中，BE=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{5}$•2$\sqrt{5}$=10，
∴S_{四邊形CFEB}=S_△BCF+S_△BEF=30+10=40．
故答案為40．

點評 本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)；利用線段中點構(gòu)建三角形中位線得到線段之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系；會利用全等三角形的知識解決線段相等的問題．