Question

10．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且∠CAB=30°，點(diǎn)D為弧AB的中點(diǎn)，AC=4$\sqrt{3}$．求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 作AE⊥CD于E，連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ACD=45°，∠ADB=90°，∠CDB=∠CAB=30°，根據(jù)正弦和正切的定義計(jì)算即可．

解答 解：作AE⊥CD于E，連接BD，
∵點(diǎn)D為弧AB的中點(diǎn)，
∴∠ACD=45°，
∴AE=CE=AC×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{6}$，
由圓周角定理得，∠ADB=90°，∠CDB=∠CAB=30°，
∴∠ADC=60°，
∴DE=$\frac{AE}{tan∠ADC}$=2$\sqrt{2}$，
∴CD=DE+CE=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)的定義，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半、半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．