Question

15．如圖，直角△ABC的直角頂點(diǎn)C，另一頂點(diǎn)A及斜邊AB的中點(diǎn)D都在⊙O上，已知：AC=6，BC=8，則⊙O的半徑為$\frac{25}{8}$．

Answer 1

分析 如圖連接CD、OD、OC，延長(zhǎng)DO交AC于E，設(shè)半徑為R，先證明DE⊥AC，DE=$\frac{1}{2}$CB，在RT△OCE中，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖連接CD、OD、OC，延長(zhǎng)DO交AC于E，設(shè)半徑為R．
在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=8，AC=6，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵BD=AD=5，
∴CD=AD=5，
∵DC=DA，
$\widehat{CD}$=$\widehat{AD}$，
∴DO⊥AC，EC=AE=3，
∴ED∥BC，∵BD=AD，
∴EC=EA，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=4，
在RT△COE中，∵∠OEC=90°，
∴CO²=OE²+CE²，
∴R²=（4-R）²+3²，
∴R=$\frac{25}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，三角形的中位線的性質(zhì)，垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．