Question

6．閱讀材料，解答問題：
若兩個二次函數圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數為“同簇二次函數”．
（1）下列各組二次函數中，是“同簇二次函數”的是③（填序號）；
①y=x²+1與y=2x²；②y=x²+2x+2與y=2（x-1）²+1；③y=-x²-2x+3與y=-$\frac{1}{3}$（x+1）²+4
（2）已知關于x的二次函數y₁=2x²-4mx+2m²+1和y₂=ax²+bx+5，其中y₁的圖象經過點A（1，1），若y₁+y₂與y₁為“同簇二次函數”，求函數y₂的表達式．

Answer 1

分析 （1）分別求得每一組兩個函數的頂點即可判斷；
（2）根據待定系數法求得y₁的解析式，即可求得y₁+y₂=（2+a）x²+（b-4）x+8，根據同簇二次函數的概念得出2+a＞0，-$\frac{b-4}{2（2+a）}$=1，$\frac{4（2+a）×8-（b-4）^{2}}{4（2+a）}$=1，即可求得a=5，b=-10，從而求得函數y₂的表達式．

解答 解：（1）∵①y=x²+1與y=2x²開口都是向上，y=x²+1的頂點是（0，1），y=2x²的頂點是（0，0），故①不是；
∵②y=x²+2x+2與y=2（x-1）²+1開口都是向上，y=x²+2x+2=（x+1）²+1的頂點是（-1，1），y=2（x-1）²+1的頂點是（1，1），故②不是；
∵③y=-x²-2x+3與y=-$\frac{1}{3}$（x+1）²+4開口都是向下，頂點都是（-1，4），故②是；
故答案為③；
（2）∵二次函數y₁=2x²-4mx+2m²+1的圖象經過點A（1，1），
∴1=2×1-4m+2m²+1，
解得m=1，
∴y₁=2x²-4x+3=2（x-1）²+1，則頂點坐標為（1，1），
∵y₂=ax²+bx+5，
∴y₁+y₂=（2+a）x²+（b-4）x+8，
∵y₁+y₂與y₁為“同簇二次函數”，
∴2+a＞0，-$\frac{b-4}{2（2+a）}$=1，$\frac{4（2+a）×8-（b-4）^{2}}{4（2+a）}$=1，
解得a=5，b=-10，
∴函數y₂的表達式為y₂=5x²-10x+5．

點評 本題考查了二次函數的性質，掌握若兩個二次函數圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數為“同簇二次函數”的概念是解題的關鍵．