Question

12．如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，連接AE、BD．
（1）猜想PM與PN的數(shù)量關系及位置關系，請直接寫出結論；
（2）現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點C順時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP、BD分別交于點G、H．請判斷（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫出PM與PN的數(shù)量關系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質易證△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根據(jù)三角形中位線定理即可得到PM=PN，由平行線的性質可得PM⊥PN；
（2）（1）中的結論仍舊成立，由（1）中的證明思路即可證明；
（3）PM=kPN，由已知條件可證明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因為點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，所以PM=$\frac{1}{2}$BD，PN=$\frac{1}{2}$AE，進而可證明PM=kPN．

解答 解：
（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACB=∠ECD=90°}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，
∴PM=$\frac{1}{2}$BD，PN=$\frac{1}{2}$AE，
∴PM=PN，
∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，
∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，
∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°，
即PM⊥PN；
（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，
∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． 
又∵∠AOC=∠BOE，
∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°．
∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，
∴PM=$\frac{1}{2}$BD，PM∥BD；
PN=$\frac{1}{2}$AE，PN∥AE．
∴PM=PN．
∴∠MGE+∠BHA=180°．
∴∠MGE=90°．
∴∠MPN=90°．
∴PM⊥PN．                         
（3）PM=kPN                         
∵△ACB和△ECD是直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∵BC=kAC，CD=kCE，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CE}$=k．
∴△BCD∽△ACE．
∴BD=kAE．                       
∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，
∴PM=$\frac{1}{2}$BD，PN=$\frac{1}{2}$AE．
∴PM=kPN．

點評 本題考查的是幾何變換綜合題，熟知等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定和性質和三角形中位線定理的運用，熟記和三角形有關的各種性質定理是解答此題的關鍵．