Question

19．已知圓錐母線長為5，底面圓半徑長為4，點(diǎn)M是母線PA的中點(diǎn)，AB是底面圓的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)；
（1）求三棱錐P-ACO的體積；
（2）求異面直線MC與PO所成的角．

Answer 1

分析 （1）由已知得AB=8，OC=4，OC⊥AB，PO=3，由此能出三棱錐P-ACO的體積．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線MC與PO所成的角．

解答 解：（1）∵圓錐母線長為5，底面圓半徑長為4，點(diǎn)M是母線PA的中點(diǎn)，
AB是底面圓的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，
∴AB=8，OC=4，OC⊥AB，
∴PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{25-16}$=3，
∴三棱錐P-ACO的體積V_P-ACO=$\frac{1}{3}×{S}_{△AOC}×OP$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×3$=8．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，-4，0），P（0，0，3），M（0，-2，$\frac{3}{2}$），C（4，0，0），O（0，0，0），
$\overrightarrow{MC}$=（4，2，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{PO}$=（0，0，-3），
設(shè)異面直線MC與PO所成的角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{PO}|}{|\overrightarrow{MC}|•|\overrightarrow{PO}|}$=$\frac{\frac{9}{2}}{\sqrt{\frac{89}{4}}•3}$=$\frac{3\sqrt{89}}{89}$，
故異面直線MC與PO所成的角為arccos$\frac{3\sqrt{89}}{89}$．

點(diǎn)評 本題考查柱、錐、臺體的體積的求法，考查異面直線所成角的求法，考查空間想象能力與計算能力，是中檔題．