Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，側面底面.

（1）求證：平面平面；

（2）若，且二面角等于，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由得，，由側面底面得側面，由面面垂直的判定即可證明；（2）由側面，可得， 得是二面角的平面角，，推得為等腰直角三角形，取的中點，連接可得，由平面平面，得平面，證明平面，得點到平面的距離等于點到平面的距離，，再利用求解即可

（1）證明：由可得，

因為側面底面，交線為底面且

則側面，平面

所以，平面平面 ；

（2）由側面可得，，

則是二面角的平面角，

由可得，為等腰直角三角形

取的中點，連接可得

因為平面平面，交線為平面且

所以平面，點到平面的距離為.

因為平面

則平面

所以點到平面的距離等于點到平面的距離，.

設，則

在中，；在中，

設直線與平面所成角為

即

所以，直線與平面所成角的正弦值為.